Координаты гаусса. Понятие о картографических проекциях

Рассмотрим эту проекцию на шаре. Для этого введём систему сферических координат , как это показано на рис. 5.9.

За начало координат принимается точка А , лежащая в пересечении экватора с меридианом P 1 AP , принимаемого за начальный в данной системе. Будем называть его осевым меридианом.

В новой системе координат за условный экватор принимается осевой меридиан, а за условные полюса точки Q и Q 1 лежащие на экваторе и отстоящий от начала координат A на 90° по долготе. Положение точки M в этой системе координат определяется дугой осевого меридиана и дугой большого круга .

Зависимости между координатами , и координатами , выражается формулами сферической тригонометрии.

(5.25)

где - долгота осевого меридиана.

Возьмём теперь цилиндр, касательный к шару по осевому меридиану (рис.5.10) и перенесём на него условные меридианы Q 1 AA 1 A 2 Q, Q 1 aa 1 a 2 Q, Q 1 bb 1 b 2 Q… и условные параллели - дуги малых кругов, параллельных плоскости меридиана – A 1 a 1 b 1 c 1 , A 2 a 2 b 2 c 2 так как мы это делаем в нормальной равноугольной проекции Меркатора (см.5.4).

За ось x примем осевой меридиан . За ось у - экватор Q,AQ (рис.5.10). Уравнения прямоугольных координат в этой проекции получим, если в выражениях (5.11) и (5.12) заменим на , а координаты и на и соответственно. В результате имеем

(5.26)

Так как проекция равноугольная, увеличение по осям и будет

а эллипсы искажений - окружности радиусом .

Из (5.27) следует, что искажение расстояний и площадей возрастает по мере удаления точки от осевого меридиана.

Чтобы эти искажения как-то ограничить, применение данной проекции ограниченно шестиградусными зонами. В каждой зоне имеется своя система прямоугольных координат , . При этом долгота осевого меридиана в каждой зоне определяет формула

где n =1,2, 3,...60 - номер зоны.

В пределах зоны величина достаточно мала. Поэтому вместо сферической ординаты удобней использовать её линейное значение. Для этого разложим в (5.27) в ряд, ограничиваясь двумя членами

.

Заменив его линейным значением , получим известную формулу

. (5.28)

В Украине искажения длин линий на краю шестиградусной зоны достигает

в южной части или 72 см на 1 км;

в северной части или 52 см на 1 км.

Искажение площадей соответственно

или 14 м 2 на 1 га;

или 10 м 2 на 1 га.

При составлении топографических планов в масштабе 1:5000 и крупнее такими искажениями пренебрегать нельзя. В этом случае применяют более узкие трёхградусные зоны, где долгота осевого меридиана вычисляется по формуле

Как это видно на рис.5.10 линии сферических координат в проекции Гаусса-Крюгера - прямые линии.



При обратном переходе от сферических координат к географическим осевой меридиан и экватор изобразятся перпендикулярными прямыми (рис.5.11). Остальные меридианы - кривые линии, обращенные вогнутостью к осевому меридиану, а параллели - кривые, обращённые вогнутостью к ближайшему полюсу.

До сих пор мы рассматривали эту проекцию на шаре. При переходе к эллипсоиду вращения общий характер проекции существенно не меняется.

Прямоугольные координаты на эллипсоиде вычисляют по формулам (2.15), а искажение длин линий по формуле (2.18).

Эта проекция была разработана немецким математиком Гауссом в 1820-30 гг. для картографирования Германии - так называемой ганноверской триангуляции. Но как истинно великий математик, он решил эту частную задачу в общем виде и сделал проекцию, пригодную для картографирования всей Земли. Математическое описание проекции было опубликовано в 1866 г. В 1912-19 гг. другой немецкий математик Крюгер провел исследование этой проекции и разработал для нее новый, более удобный математический аппарат. С этого времени проекция называется по их именам - проекцией Гаусса-Крюгера. По своему типу проекция является симметричной относительно среднего меридиана, равноугольной, равновеликой на среднем меридиане. Проекция не является строго равновеликой и имеет свойство немного завышать истинную величину площади по мере удаления от среднего меридиана. Величину искажений можно оценить аналитически.

В пределах каждой 6-градусной зоны определяется прямоугольная система координат Гаусса-Крюгера, где координаты отсчитываются в метрах от среднего меридиана зоны и от экватора. Прямоугольная система координат показана на следующем рисунке. Оси этой системы имеют обозначение: ось Y имеет направление на восток (вправо), а ось X направлена на север (вверх) вдоль среднего меридиана. Такое обозначение осей кажется немного непривычным, но так принято в геодезии. В северном полушарии координата X всегда положительна, а чтобы избежать путаницы с положительными-отрицательными значениями координаты Y при отсчете ее от среднего меридиана зоны, был принят искусственный сдвиг начала координат на 500 000 метров в западном направлении, как показано на рисунке ниже. Чтобы сделать значения координат Гаусса-Крюгера однозначными, к координате Y дописывается слева номер зоны. В результате координаты имеют следующий вид: Y = 7 421 350 м - 7 зона, на ~80 км западнее среднего меридиана зоны 7 ; X = 6 177 200 м - это просто расстояние от экватора по меридиану. Эта точка приблизительно соответствует расположению здания Центрлеспроекта в Москве. Осевой меридиан зоны 7 имеет восточную долготу 39 градусов.
Прямоугольные кординаты Гаусса-Крюгера в пределах зоны: оси Y и X и и искусственное смещение на 500 км
Координата Y точки L 500 000


В соответствии с принятой терминалогией деление зоны на листы навывается разграфкой, а система нумерации листов - номенклатурой. Упомянутая выше точка лежит на листе топокарты масштаба 1: 1 000 000 с номенклатурным номером N-37. Разграфка и базовая номенклатура карт на территории России показана на рисунке.


Разграфка и базовая номенклатура карт масштаба 1: 1 000 000
Обратите внимание, что номера зон проекции Гаусса-Крюгера (в координатах) не совпадают с номенклатурными номерами тех же зон (на картах), величина сдвига равна 30. Зоны принято отсчитывать от Гринвича, в номенклатурные номера - от линии перемены дат.
Для определения номенклатур топокарт на заданную территорию выпускаются так называемые бланковые карты в географической проекции (прямоугольная сетка параллелей и меридианов). По краям карты проставлены номера зон и буквы широтных полос, как на приведеной выше карте, а сетка соответствует листам карт более крупных масштабов. Карты обычно охватывают определенный диапазон масштабов, например, от 1: 1 000 000 до 1: 100 000.

картографическая проекция , разработанная немецкими учёными Карлом Гауссом и Луи Крюгером . Применение этой проекции даёт возможность практически без существенных искажений изобразить довольно значительные участки земной поверхности и, что очень важно, построить на этой территории систему плоских прямоугольных координат . Эта система является наиболее простой и удобной при проведении инженерных и топографо-геодезических работ .

Принцип и применение

Пример алгоритма перевода из географических координат в прямоугольные приведен в Викиучебнике .

В результате исследований было установлено, что оптимальные размеры территории изображения должны ограничиваться меридианами , отстоящими друг от друга на 6° (хотя в принятой в Германии первоначальной версии этой проекции меридианы отстоят на 3°). Эта фигура получила название сфероидального двуугольника . Его размеры: 180° по широте (от полюса до полюса), и 6° по долготе. Несмотря на то, что площадь зоны в проекции (зоны Гаусса) будет увеличенной, относительные искажения длин в отдалённых от среднего меридиана точках экватора на границе зоны составит 1/800. Максимальные искажения длин в пределах зоны составляет +0,14 %, а площадей - +0,27 %, а в пределах России - ещё меньше (примерно 1/1400). Таким образом, искажения длин и площадей в пределах зоны меньше, чем искажения, возникающие при печати карты за счёт деформации бумаги. Изображение зоны в проекции Гаусса практически не имеет искажений и допускает любые карто- и морфометрические работы.

Главным образом прямоугольная система координат используется в военном деле . На ней основана военная топография .

Точкой отсчёта принимается пересечение выбранного осевого меридиана с экватором . Для этого вся земная поверхность разбита на зоны ограниченные меридианами отстоящими друг от друга на 6°, с порядковой нумерацией начиная от Гринвичского меридиана на восток. Всего 60 зон. К примеру 8-я зона находится между меридианами 42° и 48° восточной долготы , а 58-я зона соответственно находится между меридианами 12° и 18° западной долготы .

Тема 4. ЗОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ГАУССА

4.1. РАВНОУГОЛЬНАЯ ПОПЕРЕЧНО-ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ ГАУССА

Для уменьшения неизбежных искажений, возникающих при изображении значительных территорий на плоскости, прибегают к картографированию территорий по частям. При создании топографических карт (кроме карты в масштабе 1: 1 000 000) в Украине и ряде других стран применяется равноугольная поперечная цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера.

Карл Фридрих (1777-1855) Гаусс в 1825 г. разработал теорию отображения поверхности эллипсоида вращения на плоскости с сохранением подобия в бесконечно малых частях. В 1912 г. А. Крюгер вывел рабочие формулы этой проекции.

Образуется проекция перенесением поверхности эллипсоида на боковую поверхность эллиптического цилиндра, ось которого перпендикулярна оси вращения Земли.

Рис. 4.1. Проекция Гаусса

Следовательно, проекция Гаусса составляется с учетом сжатия Земли. На один цилиндр переносится узкая полоса земной поверхности, занимающая по долготе 6°
Цилиндр касается глобуса по среднему меридиану зоны. Каждая зона соответствует колонке листов карты масштаба 1: 1 000 000 в международной разграфке, т.е. каждая зона ограничивается меридианами, кратными 6° долготы. Зоны нумеруются от Гринвичского меридиана на восток. Первая зона расположена между меридианами 0 и 6°. Всего зон - 60.
Поверхность глобуса на боковую поверхность цилиндра переносится с сохранением равенства углов на местности и на карте . Следовательно, проекция Гаусса равноугольна . Искажения длин будут возрастать по мере удаления от экватора и меридиана касания.

В каждой зоне осевой меридиан (как меридиан касания) изображается прямой линией в натуральную величину. Остальные меридианы зоны изображаются кривыми линиями, причем кривизна их увеличивается по мере удаления от осевого меридиана.
На глобусе все меридианы имеют одинаковую длину. Следовательно, все меридианы в зоне, кроме среднего, вытянуты по сравнению с соответствующими меридианами на глобусе. Экватор изображается прямой линией, а остальные параллели — кривыми. Все параллели, в том числе и экватор, растянуты пропорционально растяжению меридианов.

Рис. 4.2. Схематическое изображение зоны Гаусса на плоскости.

В проекции Гаусса максимальные искажения длин на экваторе на границе каждой зоны равны 0,137% (137 м на 100 км расстояния).
При решении многих задач геодезии такими искажениями пренебрегают и проекцию считают не только равноугольной , но и равнопромежуточной , и равновеликой , т. е. практически отсутствуют искажения углов, расстояний и площадей . Карты этой проекции принимают за план.
Каждая зона Гаусса по меридианам и параллелям делится на отдельные листы карт. Рамками листов карт являются меридианы и параллели.
В проекции Гаусса составляются топографические карты масштаба 1: 500 000 и крупнее.
На картах масштаба 1: 500 000 нанесена сетка геодезических координат, а на рамках этой карты даны выходы километровой сетки.
На картах масштаба 1: 200 000 и крупнее нанесена километровая сетка системы прямоугольных координат Гаусса.

4.2. СИСТЕМА ПЛОСКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ГАУССА

На топографических картах масштаба 1: 500 000 и крупнее кроме геодезической сетки наносится прямоугольная координатная сетка . Приняв осевой (средний) меридиан в каждой зоне за ось X (абсцисс), а экватор - за ось У (ординат), а их пересечение за начало координат, получим систему плоских прямоугольных координат Гаусса для данной зоны. В топографии и геодезии ориентирование производится по северу со счетом углов по ходу часовой стрелки. Поэтому для сохранения знаков тригонометрических функций положение осей координат в зоне Гаусса повернуто на 90° относительно осей, принятых в декартовой системе прямоугольных координат. За положительное направление осей приняты: для оси X - направление на север, для оси Y - на восток. Положение точки А в координатной зоне определяется ее расстоянием х А и y A от осей координат. На территории Украины все абсциссы (расстояния от экватора) положительны. Что касается ординат, то они в каждой зоне могли бы быть как положительными, так и отрицательными. Для удобства работы с картами условились значение ординаты Y осевого меридиана каждой зоны принимать равным 500 км , т. е. начало координат как бы вынесли к западу за пределы зоны.



Рис. 4.3. Система плоских прямоугольный координат Гаусса.

Поскольку в каждой зоне числовые значения ординат повторяются, то для того, чтобы по координатам точки можно было определить, к какой зоне она относится, к значению ординаты Y слева приписывается номер зоны.
Например, координаты точки х = 6 346 650 м , у = 4 522 800 м означают, что точка расположена к северу от экватора на расстоянии 6 346 650 м и к востоку от осевого меридиана 4-й зоны на расстоянии 22 800 м (522 800 м - 500 000 м = 22 800 м ).
Другой пример. Координаты х = 5 862 300 м , у = 15 323 500 м . Это означает, что точка расположена в 5 862 300 м к северу от экватора и в 176 500 м к западу от осевого меридиана 15-й зоны (500 000 м — 323 500 м = 176 500 м ).
Для того, чтобы значительно упростить определение прямоугольных координат, на плоскости (на карте) параллельно координатным осям (осевому меридиану и экватору) проводят прямые линии через целое число километров, поэтому прямоугольную координатную сетку часто называют километровой , а ее линии — километровыми.
Все линии километровой сетки на картах подписывают цифрами, причем линии, ближайшие к углам рамки листа карты, подписывают полным числом километров, остальные сокращенно - только последними двумя цифрами, подразумевая остальные цифры. Таким образом, подпись 6081 сверху горизонтальной километровой линии означает, что она проходит в 6081 км к северу от экватора, а подпись 4322 возле расположенной справа вертикальной километровой линии означает, что эта линия находится в 4-й зоне и проходит в 178 км западнее осевого меридиана зоны (500 км - 322 км = 178 км ).
С помощью километровой сетки можно быстро находить координаты объектов, наносить точки по координатам, указывать местоположение объектов на карте. Прямоугольные координаты точки, через которую на карте проходят линии километровой сетки получают сразу, прочитав оцифровку координатных линий на рамках карты.


Рис. 4.3. Оцифровка линий прямоугольной координатной сетки.

Координаты точек, лежащих внутри клеток сетки, определяют по координатам ближайших к точке линий сетки и приращению координат точек относительно этих линий. Приращения координат Δх и Δу измеряют с помощью циркуля-измерителя и линейного масштаба карты, суммируют с координатами километровых линий.

х А = 6 136 000 х В = 613328
у А = 7 316 000 у В = 7313450

Рис. 4.5. Положение и оцифровка линий прямоугольной координатной сетки на листе карты масштаба 1: 100 000 и определение прямоугольных координат точек

Приращения координат могут быть измерены с помощью координатомера — небольшого угольника с двумя перпендикулярными сторонами. По внутренним ребрам линеек нанесены шкалы, длины которых равны длине стороны координатных клеток карты данного масштаба. Горизонтальная шкала совмещается с нижней линией квадрата (в котором находится точка), а вертикальная шкала должна проходить через данную точку. По шкалам определяют расстояния от точки до километровых линий (рис. 6.3).


х А = 6135 350 у А = 5577 701

Рис. 4.6. Измерение прямоугольных координат точек с помощью
координатомера

Чтобы нанести на карту точку по заданным прямоугольным координатам , поступают следующим образом: по значению абсциссы x , принимая во внимание только целое число километров, находят горизонтальную координатную линию, к северу от которой будет находиться точка. По значению ординаты y аналогичным образом определяют вертикальную координатную линию, к востоку от которой будет расположена искомая точка, и находят нужный квадрат. Откладывают измерителем по линейному масштабу оставшиеся доли километров (приращения координат): по обеим горизонтальным сторонам квадрата к востоку — приращение ординаты Δу , а по обеим вертикальным линиям к северу — приращение абсциссы Δх . Через полученные точки проводят вертикальную и горизонтальную прямые, в точке пересечения которых находится заданная точка.

Для быстрого указания местоположения объекта на данном листе карты используют сокращенные координаты юго-западного угла соответствующего квадрата километровой сетки. От обозначений обеих километровых линий берут две последние цифры, напечатанные крупным шрифтом, и записывают их так, чтобы две первые цифры относились к южной стороне, а две последние — к западной стороне квадрата . Например, на рисунке 4.3 г. Крута находится в квадрате 8020, а населенный пункт Бандурка — в квадрате 8022.

Дополнительная километровая сетка наносится на границе соседних зон. Так как вертикальные километровые линии сетки параллельны своему осевому меридиану зоны, а осевые меридианы соседних зон между собой не параллельны, то при склейке двух листов карты, находящихся на стыке двух зон, вертикальные километровые линии обеих сеток будут расположены под некоторым углом друг к другу. При определении координат точек, расположенных в двух смежных зонах, необходимо координаты объектов одной зоны перевычислять в другую зону. Это трудоемкая работа, требующая наличия специальных таблиц и вычислительной техники.


Рис. 4.7. Взаимное расположение километровых линий сети смежных зон (а) и дополнительная координатная сетка (б)

Чтобы устранить это неудобство, в каждой зоне на всех листах карт, расположенных в пределах 2° к востоку и к западу от границы зоны, наносят кроме километровой сетки своей зоны также выводы километровой сетки соседней (западной или восточной) зоны в виде черточек за внешней рамкой. Подписи дополнительной сети делаются с наружной стороны внешней рамки.
Наличие дополнительной сетки на карте позволяет графически перевычислять координаты объектов (целей) одной зоны в другую зону. Чтобы построить на карте дополнительную сетку, необходимо соединить прямой линией выходы дополнительной координатной сетки с одинаковыми значениями по восточной и западной рамкам, а также по южной и северной рамкам.

4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОГРАФИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ТОЧЕК,
ЗАДАННЫХ НА КАРТЕ

Каждый лист карт масштаба 1: 1 000 000 и крупнее ограничен меридианами и параллелями. Значения географических координат подписываются у углов рамки листа карты. Кроме того, вдоль сторон рамки показываются (в масштабе карты) изображения дуг меридианов и параллелей, соответствующие определенному числу минут широты и долготы.


Рис. 4.8. Оформление рамки листа топографической карты.

Географические координаты углов внутренней рамки листа (северо-восточного, юго-восточного, юго-западного, северо-западного) подписаны на карте .
Рамка имеет деления на отрезки, соответствующие одной минуте широты (на западной и восточной рамках) и одной минуте долготы (на северной и южной рамках). Минутные отрезки представлены на карте в виде длинных пунктиров.
Для определения по карте географических координат точки проводят ближайшую к ней с юга параллель и ближайший с запада меридиан. Искомая широта будет складываться из широты проведенной параллели и приращения широты точки относительно этой параллели. Аналогично можно получить и долготу точки. Приращения широты и долготы обычно определяют по секундным отметкам, нанесенных рядом с минутными делениями или методом интерполяции.
Чтобы определить приращения координат методом интерполяции необходимо измерить на карте длину одной минуты широты и долготы, а также расстояние от точки до ближайшей с юга параллели и от точки до ближайшего с запада меридиана. По этим данным составляются пропорции и определяются приращения координат.
Например:
На карте масштаба 1: 25 000 длина минутного штриха по долготе равна 42 мм . Расстояние от точки до ближайшего западного меридиана равно 20 мм . Найти приращение долготы в секундах.
Составляем пропорцию:

60 сек соответствует 43 мм
х сек соответствует 20 мм
х = (60×20):43 = 27,9 ≈ 28 сек

При определении географических координат точек по картам масштабов 1: 500 000 и 1: 1 000 000 применяют специальную палетку . Она представляет собой вычерченную на прозрачной бумаге систему прямых линий, расстояния между которыми соответствуют 5" широты и долготы. Такую палетку накладывают на лист карты так, чтобы линии ее, кратные целым градусам широты и долготы, совпали с соответствующими линиями картографической сетки. После этого оценивают положение определяемой точки относительно ближайших западной и южной линий палетки.

Задания и вопросы для самоконтроля

    1. Какие проекции применяют для создания топографических карт в Украине?
    2. В чем сущность создания проекции Гаусса?
    3. Почему проекция Гаусса носит название: «Равноугольная поперечно-цилиндрическая»
    4. Как изображаются меридианы и параллели в проекции Гаусса?
    5. На каких участках карты проекции Гаусса искажения максимальны?
    6. Для каких целей служат рамки листов карт проекции Гаусса?
    7. Что принимается за оси координат (абсцисса и ордината) в системе плоских прямоугольных координат Гаусса?
    8. Что означает запись значений координат: х = 6 346 650, у = 4 522 800?
    9. В каких целях на топографических картах нанесена километровая сетка?
    10. Как определить с помощью топографической карты плоские прямоугольные координаты заданной точки?
    11. Для каких целей используют сокращенные координаты?
    12. В чем состоит решение прямой геодезической задачи?
    13. В чем состоит решение обратной геодезической задачи?
    14. Какой порядок определения географических координат на топографической карте?

1. Понятие о форме и размерах земли . Ге о графические коорд и наты

При решении ряда геодезических задач требуется знать форму и размеры Земли, которая не является правильным геометрическим телом. Ее физическая поверхность (и в особенности поверхность суши) очень сложная, ее невозможно выразить какой-либо математической формулой. Поэтому в геодезии введено понятие уровенной поверхности.

Урове н ной называют выпуклую поверхность, касательная к которой в любой точке перпендикулярна направлению отвесной линии. Следовательно, уровенную поверхность мысленно можно провести через любую точку на физической поверхности земли, под землей и над землей. Реально уровенную поверхность можно представить как водную поверхность пруда, озера, моря, океана в спокойном состоянии. Поверхность Мирового океана, мысленно продолженная под сушей, названа поверхн о стью геоида, а тело, ограниченное ею, - геоидом. Но и поверхность геоида из-за неравномерного размещения масс в теле Земли также очень сложная и не выражается какой-либо математической поверхностью, например поверхностью шара. Исследования формы Земли астрономо-геодезическими методами показали, что Земля сплюснута у полюсов (вследствие вращения Земли вокруг своей оси). Поэтому в качестве математической поверхности, характеризующей форму Земли, принимают поверхность такого эллипсоида вращения, т.е. тела, получающегося от вращения эллипса вокруг его малой (полярной) оси, который по форме в наибольшей мереблизко подходит к поверхности геоида. Размерами эллипсоида являются длины его большой а и малой b полуосей, а также сжатие, которое определяют по формуле: а = (а - b )/а.

На протяжении двух последних столетий ученые неоднократно определяли размеры земного эллипсоида.

При приближенных расчетах поверхность эллипсоида принимают за поверхность шара (равновеликого по объему земному эллипсоиду) с радиусом 6371,1 км, округляя это значение до 6370 км, а в некоторых случаях до 6400 км. Для небольших участков земной поверхности поверхность эллипсоида принимают за плоскость.

Положения точек земной поверхности на карте и плане определяют координатами. Наиболее часто пользуются географическими и прямоугольными координатами.

Геогр а фическими к о ординатами (рис. 1.17, а) являются широта и долгота точки. Ге о графическая (астрономическая) широта ф точки М - угол между направлением отвесной линии, проходящей через эту точку, и плоскостью экватора. Геогр а фическая (астрономическая) до л гота А, - двугранный угол, заключенный между плоскостью меридиана, проходящего через эту точку, и плоскостью начального меридиана.

Угол, составленный нормалью к поверхности эллипсоида и плоскостью экватора, называют геод е зической ш и ротой, а двугранный угол, заключенный между плоскостями геодезического и начального меридианов, - геодезич е ской долг о той.

Широты бывают северные и южные, изменяются от 0 (на экваторе) до 90° (на земных полюсах). Долготы бывают восточные и западные, изменяются от 0 (на начальном - Гринвичском меридиане) до 180° (на тихоокеанской ветви Гринвичского меридиана). Линию, проходящую через точки с одинаковыми широта ми, называют п а раллелью, а с одинаковыми долготами - меридианом.

2 . По нятие о картографич е ских проекциях. Классиф и кация проекций. Равн о угольная поперечная ц и линдрическая проекция Г а усса

Чтобы изобразить земную поверхность на плоскости, вначале переходят от ее физической формы к математической, в качестве которой принимают поверхность эллипсоида вращения (сфероида) или шара, и только затем математическую поверхность Земли изображают на плоскости.

Так как без искажений поверхность шара (или эллипсоида) изобразить на плоскости невозможно, то строят условные изображения земной поверхности, основанные на некоторых заранее принятых математических зависимостях между координатами точек на шаре и их изображениями на плоскости. Такие способы условного изображения земной поверхности на плоскости называют картографическими проекциями.

Разработаны различные виды проекций по характеру искажений. В одних проекциях искажаются все элементы - горизонтальные углы, линии, но сохраняется отношение площадей. Такие проекции называют равновеликими (эквивалентными). В других не искажаются углы, вследствие чего сохраняется подобие бесконечно малых фигур. Такие проекции называют равноугольными (конформными). Для составления топографических карт на территории б. СССР с 1928 г. принята равноугольная проекция Гаусса-Крюгера.

Применяя проекцию Гаусса-Крюгера, всю земную поверхность делят меридианами на шести- или трехградусные зоны (рис. 11.1, а). Это вызвано тем, что при большом удалении точки осевого меридиана получают большие искажения в этой точке на карте. Выбор зоны шириной и 3 или 6° долготы зависит от масштаба составляемой карты. При составлении карты в масштабе 1:10 000 или мельче применяют шестиградусную зону, а при составлении карты в масштабе 1: 5000 или крупнее - трехградусную.

Шестиградусные зоны нумеруют арабскими цифрами, начиная от гринвичского меридиана, с запада на восток. Так как западная граница первой зоны совпадает с гринвичским (начальным) меридианом, то долготы осевых меридианов зон будут: 3, 9, 15, 21 o … Долготу осевого меридиана можно определить по формуле:

Всего на территории б. СССР создано 29 шестиградусных зон с номерами от 4 по 32 и соответственно установлено 29 осевых меридианов со стандартными долготами 21, 27,…, 183, 189°.

Трехградусные зоны располагаются на земной поверхности так, что все осевые и граничные меридианы шестиградусных зон являются осевыми меридианами трехградусных зон. Следовательно, долготы осевых меридианов трехградусных зон кратны трем.

Системы координат в каждой зоне проекции Гаусса-Крюгера совершенно одинаковы: плоские прямоугольные координаты х и у, вычисленные по геодезическим (географическим) координатам В и L в любой координатной зоне, имеют одни и те же значения. В проекции Гаусса-Крюгера осевой меридиан, представляющий ось абсцисс (х), и экватор - ось ординат (у), изображаются взаимно перпендикулярными прямыми линиями, а остальные меридианы - кривыми, сходящимися в полюсах (рис. 11. 1,6). Все абсциссы точек в северных частях зон (к северу от экватора) положительные. Чтобы все ординаты были положительные, ко всем ординатам (отрицательным и положительным) прибавляют 500 км. Кроме того, для полного определения положения точки на земной поверхности впереди измененной ординаты пишут номер зоны. Например, в зоне 7 точки А и В имеют действительные ординаты: у А = +14 837,4 м, у в = -206368,7 м. Преобразованные ординаты будут на 7500000 м больше, т.е. у a = 7514 Х37,4 м, у в = 7293631,3 м. Абсциссы точек на всей территории России положительны, их оставляют без изменения.

3. Прямоугол ь ные координаты Гаусса. Процесс преобразова ния

Применяя проекцию Гаусса, всю земную поверхность делят меридианами на 6 и 3 зоны. Это вызвано тем, что при большом удалении точки осевого меридиана получают большие искажения в этой точке на карте. Выбор зоны зависит от масштаба. Для крупных 3-х зоны (1:500,1:1000,1:2000,1:5000), для мелких 6-и зоны (1:50000, 1:100000). Спроектировав зону на поверхность цилиндра, а затем развернув его на плоскость получают изобр. зоны на плоскости. В проекции Гаусса в кажд. из зон примен. прямоугольная система координат. За ось абцис (х) принимают осевой меридиан, за ось ординат(у) - экватор. Для преобразования плоских прямо-х координат принято +500 км к исходн. координатам и добавлять номер зоны впереди.

4 . Ма сштаб изображения и искажения длин линий пр о екции Гаусса

Пр. Гаусса является равноугольной, т.к. в ней не икаж. горизонт. углы геометр. фигур земной поверхн. Длина линий измер. на плане или вычисл. по координатам точек всегда больше горизонт. проложений этих линий на местности, т.е.

S г =S+?S, ?S=(1+у 2 /2R 2),

где?S-поправка за редуцирование-вычисление длины линии на местности в проекции. ?S всегда +, при вычислении ее поправки ординату(у) берут для середины редуцируемого отрезка. Поправки за редуцирование линий вводятся в измеренные линии, когда значение измеренных линий велико и в качестве исходных используются точки гос. геод. сети. Под масштабом плана понимают отношение длины линии на плане к горизонт. проложению длин этих линий на местности m=S г /S. Масштаб во всех частях плана постоянен, но при изобр. больших террит. кривизна земли сказывается. Масштаб карты явл. велич. переменной. Он изм. при переходе из одной точки в другую>зависит от геогр. координат и азимута (m=f (B, L, ?)), где m-масштаб. На картах бывают масштабы: 1. Главный устанавливает общее изменение всех элементов земной поверхн. при переходе от поверхн. земн. эллипсоида или шара к карте. Во всех остальных частях карты масштабы > или < главного назыв. частные. Масштаб изобр. в пределах одн. и той же зоны различен и зависит от удаленности отрезка от осевого меридиана. Наибольшее искаж. получ. длины отрезков находящихся на краю 6 зоны, на широте экватора.

5. Искажение площадей в проекции Гаусса

В проекции Г. сохран. подобие бесконечно малых фигур. Из геометр. известно, что площади подобных фигур относятся как квадраты их сходственных сторон

Р г /Р=S 2 г /S 2 , S г =S (1+y 2 /2R 2), P г /Р=S 2 (1+y 2 /2R 2)/S 2 , P г =Р (1+у 2/ /R 2 +y 4 /4R 4).

Из-за малости у 4 /4R 4 отбрасывают.

Р г =Р (1+у 2 /2R 2), P г =Р+?Р, ?Р=Ру 2 /R 2 .

Р - поправка в площади в поверхности шара на плоскость поверхности Гаусса. Для упрощения выводов земная поверхн. приним. за поверхн. шара

6. Номенклатура листов т о пограф. карт мелких, ср., кр. масштабов

Для удобства пользования топограф. картами их обознач. введя опр. систему. В основу деления положены сферические трапеции получаемые на поверхн. сфероида при делении его меридианами через 6 на 60 зон. Зоны № арабским цифрами с запада на восток, начиная от меридиана долготой 180°. Колоны делятся на ряды через 4°, ряды обознач. заглавн. букв. латинского алфавита, от экватора до севера, от А до З. Проведенные таким образом меридианы служат рамками листов карт масштабом 1:1000000 размерами по широте 4 и 6. В основу номенклатуры карт крупных масштабов положена трапеция масштаба 1:1000000, средних - 1:100000.

7. Вычисл. координ. ве р шин тр апеции м. 1:10000 в пр. Гаусса

Сначала по специальным таблицам находят координаты и сближение меридианов углов рамки трапеции 1:25000, в которую входит трапеция м. 1:10000. Выбор данных производится по широте В и отклонению угла рамки от осевого меридиана l=L-L 0 . Найденные значения выписываются на схему. Затем вычисляют прям. координ. и сближ. меридианов для углов рамки трап. м. 1:10000 линейным интерполированием м/у соответствующими значениями для улов рамки трап. м. 1:25000. Результаты выпис. на схему. В абциссы углов, полученных при интерполировании, вводят поправку, которую берут из таблицы. Поправка вводится с -, т.к. параллели в пр. Г. изобр. дугами. Попр. водят в точки, расп. на среднем меридиане трап. м. 1:25000. Найденные знач. для трап. м. 1:10000, предварительно + к ординатам 500 км и указав впереди № зоны.

9. Определ. дирекционного угла и длины л и нии между двумя точками на топ о граф. карте графич. и гр а фоаналитич. методом

Для определ. дир. угла по графич. координатам вычисл. румб линии, к пр. АВ, по ф.

r AB =arctg?y AB /?x AB .

Затем по румбу находят дир. угол? АВ. Для этого выч. гориз. пролож. S AB по ф.

S АВ =?x AB /cosr AB , S AB =?y AB /sinr AB , S AB =v?x AB 2 +?y AB 2 .

Для опр. дир. угла. по графич. методу нужно изм. дир. угол с помощью геодезич. транспортира. Горизонт. пролож. измерть с помощью циркуля и масшт. линейки. Расхождения между полученными значениями 2 способами на должны превышать в дир. угле 20", в гор. прол. - 4 м.

10. Сущность и виды геод. изм.

Изм. к-л величин. значит сравнить ее с другой однородной ей велич., принятой за 1-цу меры. В результате изм. находится число = отношению измеряемой величины к 1 меры, его назыв. результатом изм. Изм.: прямые - когда определяемую величину получают из непосредственного сравнения с эталоном; косвенные - знач. величины получают вычислением по другим уже изм. велич. Всякое изм. предусматривает наличие 5 факторов: объекта изм., человека, инструмента изм., метода изм., внешней среды. Изм проводимые в одинаковых условиях при котор. результ. можно считать одинаково достоверными - равноточные, изм. проводимые в неодинаковых условиях котор. отдельные изм. оказываются недостоверными назыв. неравноточными.

11. Классиф. ошибок изм. Св-ва случ. ошибок изм.

Отклонение результата изм. от его точного изм. назыв. ошибкой изм. ?=l-x, ?-ошибка, l-результат изм., х-точное знач. Классиф.: По характеру действия: грубые - величина которых совершенно недопустима при данных условиях изм.; систематические - при повторных изм. либо остаются без измен., либо измен. по к-л определенному закону, могут быть: постоянно, переменно, односторонне действующие; случайные - ошибки в последовательности появления которых нет никакой закономерности. По источнику происхождения: инструментальные, внешние, личные. Св-ва случ. ошибок: Ошибки по абсолютной величине не превосходят некоторого предела. Число + и - ошибок равных по абсолютной величине встречается одинаково часто. 3Чем меньше по абсолют. велич. ошибка тем она чаще встреч. и наобор. 4Чем больше число ошибок, те больш. среднеарифметическое из них стремится к 0.

12. Сред., вероят., СКО и предельн. ошибки изм., связь м/у ними. Виды распр ошибок, Абсолют. и отн о сит. ошибки изм.

Средняя ош. получена как среднеарифм. знач. из истинных ош. Ее получ. по абсолютным знач. ош.

Среднеарифм., n-число изм. Вероятная ош.-такое знач. случ. ош. при данных условиях по отношению к которой ош. <и>по абсолют. велич. встречаются одинаково часто r=2/3m. СКО как мера точности изм. усиливает возвед. в квадр. знач. больших по абсолютной величине ош., что проектир. правильность суждения о надежности m=v[? 2 ]/n. При неогр. числе изм. знач. СКО будет приближенным > вычисл. СКО самой ош. и назыв. ее надежностью изм. m ml =m l /v2n. Зная СКО установить предельную ош., абсолют. знач. которой счит. верхней границей допустимых при данных условиях изм. размеров ош. ? пр =ґ m , где ґ=2; 2,5; 3. Преимущество СКО: Учитывают влияние больших по величине ошибок. СКО определенная из небольшого числа изм. мало отлич от СКО большого числа таких же изм. Истинная, средняя, вероятная, СКО ош. назыв. абсолютными в тех случаях когда на точность изм. влияет размер определяемой величины, то оценка точности по абсолют. ош. становится недостаточной. Во всех таких случаях для точности применяют понятие относит. ош. - отвлеченное число выраж. отнош. абсолют. ош. измерения к его результату.

13. Матем. обраб. равн о точн. изм. Арифм. сре д нее, СКО арифмет. середи ны

Имеется ряд равноточ. изм. l 1 , l 2 …, l n . За окончательное знач. изм. величины приним. среднее знач или L=(l 1 +l 2 + … +l n)/n=[l]/n. Ряд случ. ош.

1 =l 1 -x, ? 2 =l 2 -x,….,? n =l n -x,

где х-точное знач. изм. величины. Сложим все и получ. [?]=[l] - nx. x=[l]/n - [?]/n. При бесконечном числе изм. среднее арифм. знач. их находится ближе всего к точному их значению х, чем любой из результатов измерений (l 1 , l 2 …l n) поэтому его назыв. вероятнейшим знач. измеренной величины.

L=[l]/n, L=l 0 +[E]/n,

l 0 -наименьшее из всех результатов изм., Е-разница м/у каждым наименьшим и результатом изм. Е=l 1 -l 0 . Если возмем - м/у средним арифм. и каждым результатом изм. то получим v 1 =l 1 -L, v 2 =l 2 -L,…., v n =l n -L. Сложим все и получ.

[v]=[l] - [l]/n*n.

Величину v назыв. уклонением от вероятнейшего знач. или вероятнейшими ош. СКО арифм. середины, если х-точное значение определ. велич., L-арифметич. середина, М-ош. вероятн. знач. М=L-x.

8. Способы получ. размеров по меридиану и пара л лели литсов топограф. карт ме л ких и ср. м. в мере

Разграфка листов крупномасштабн. планов произв. сл. способом: для съемки и составл. планов свыше 20 км2 за основу разграфки принимают лист карты 1:1000000, а в случае прямоугольной разграфки 1:5000.

1:1000000-4-6°, 1:500000-2-3°, 1:300000-1°20-2°, 1:200000-40"-1° 1:100000-20"-30", 1:50000-10"-15", 1:25000-5"-7"30», 1:10000-2"30»-3"45».

16. Оценка точности рез. равноточ. изм. по 2 - х изм. Ф., порядок вы числ.

На пактике часто произв. 2-ые равноточные изм. Изм. некот. однородн. велич. и получ. результатыl 1 " , l 2 " …l n " и l » 1 , l 2 » …l n » , d=l i " -l i » . При абсолютно точных знач. - этих велич. должны быть =0. Но этого не происх. т. к. влияют ош. можно их вычисл. по ф. Г. m d =+-v/n. Ош 1-го изм. m l =v[d] 2 /2n, вероятнейшего измерения. m l =0.5v/n, предельное изм. ? пр =3m. Эти ф. справедливы когда отсутств. систем. ош. Если есть систем. ош. то ее нужно опред. и искл. Если бы не было случ. ош. тогда знач. систематич. ош. можно получить применяя ф. арифм. середнего. Q=d, Q=[d]/n. Искл. знач. ош. из - получим остаточные разности i =d i -Q.

17. СКО арифметической середины . Вывод ф.

M=L-x. Для вывода этой формулы примем? 1 =l 1 -x, ? 2 =l 2 -x,…,? n =l n -x. Сложим и разделим все и получим [?]/n=[l]/n-xn/n. Возведем это равенство в квадрат

М 2 =(? 1 2 +? 2 2 + … +? n 2 +2? 1 ? 2 +2? 1 ? 3 + … +2? 1 ? n +2? 2 ? 3 +2? 2 ? 4 + … +2? 2 ? n + … +2? n -1 ? n)/n 2 .

Т.к. в этой ф. на основании св-ва случ. ош. удвоенные произв. могут иметь разные знаки и при возрастании числа сумма их будет >0, поэтому отбросив их получим приближен. равенство.

M 2 =(? 1 2 +? 2 2 + … +? n 2)/n 2 =[? 2 ]/n 2 .

М=m l /vn, M L =m l /vn-СКО вероятнейшего знач. Следовательно СКО арифм. серед. равноточ. изм. одной и той же велич. vn меньше СКО отдельного изм. > вероятн. знач. будет в наибольшей мереточным по сравнению с каждым результатом изм.

18. СКО ф-и общего вида: U = f (X 1 , X 2 ,… , X n ). Вывод ф.

U=f(X 1 , X 2 ,…, X n),

где X 1 , X 2 , X n непосредственно изм. велич. содерж. ош. ?х 1 , ?х 2 , ?х n . Если меняются знач. аргументов ф-и на велич. ош., то меняется и сама ф-я

U+?U=f(x 1 +?х 1 , х 2 +?х 2 , х n +?х n).

19. СКО ф-и вида U = K X (K - const ).Вывод ф.

U=KX, где K-const, х - непоср. изм. велич. Если х изм. ошибочно, то и ф-ия будет иметь ош. U+?U=K (x+?x), где?U-случ. ош. Произведем вычисл. и получ. ?U=K?x

m U =m x v?K i 2 .

20. СКО ф-й вида U = X + Y . Вывод ф.

U=X+Y(1), где х, у - независим. велич., получ. в результате неоднократных изм. величин. Если изм. велич. были определены со случ. ош., то и сумма их будет содерж. ош.

U+?U=(x+?x)+(y+?y) (2).

Вычтем из (2) (1) ?U=?x+?y. При многократных непостедств. изм. каждой велич. получ. многочлен

U 1 =?x 1 +?y 1 ,?U 2 =?x 2 +?y 2 ,….,?U n =?x n +?y n .

Возведем в квадрат и сложим почленно [?U 2 ]=[?x 2 ]+[?y 2 ]+2 [?x?y]. Отбросим последнее знач. т.к. оно обладает всеми св-ми случ. ош. и при увелич. числа изм. стремится к 0.

[?U 2 ]=/n+/n, m 2 U =m x 2 +m y 2 .

СКО суммы двух изм. велич. равна сумме квадратов отдельных аргументов.

m=m x =m y , m U = +-mv2, m U =vm x 2 +m y 2 .



 

Возможно, будет полезно почитать: