Примеры решения дифференциалов. Дифференциальные уравнения первого порядка
Вспомним задачу, которая стояла перед нами при нахождении определенных интегралов:
или dy = f(x)dx. Ее решение:
и сводится она к вычислению неопределенного интеграла. На практике чаще встречается более сложная задача: найти функцию y , если известно, что она удовлетворяет соотношению вида
Это соотношение связывает независимую переменную x , неизвестную функцию y и ее производные до порядка n включительно, называются .
В дифференциальное уравнение входит функция под знаком производных (или дифференциалов) того или иного порядка. Порядок наивысшей называется порядком (9.1).
Дифференциальные уравнения:
- первого порядка,
Второго порядка,
- пятого порядка и т. д.
Функция, которая удовлетворяет данному дифференциальному уравнению, называется его решением, или интегралом. Решить его - значит найти все его решения. Если для искомой функции y удалось получить формулу, которая дает все решения, то мы говорим, что нашли его общее решение, или общий интеграл.
Общее решение
содержит n
произвольных постоянных 
и имеет вид
Если получено соотношение, которое связывает x, y и n произвольных постоянных, в виде, не разрешенном относительно y -
то такое соотношение называется общим интегралом уравнения (9.1).
Задача Коши
Каждое конкретное решение, т. е. каждая конкретная функция, которая удовлетворяет данному дифференциальному уравнению и не зависит от произвольных постоянных, называется частным решением, или частным интегралом. Чтобы получить частные решения (интегралы) из общих, надо постоянным придают конкретные числовые значения.
График частного решения называется интегральной кривой. Общее решение, которое содержит все частные решения, представляет собой семейство интегральных кривых. Для уравнения первого порядка это семейство зависит от одной произвольной постоянной, для уравнения n -го порядка - от n произвольных постоянных.
Задача Коши заключается в нахождении частного решение для уравнения n -го порядка, удовлетворяющее n начальным условиям:
по которым определяются n постоянных с 1 , с 2 ,..., c n.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка
Для неразрешенного относительно производной дифференциальное уравнения 1-го порядка имеет вид
или для разрешенного относительно
Пример 3.46 . Найти общее решение уравнения
Решение. Интегрируя, получим
где С - произвольная постоянная. Если придадим С конкретные числовые значения, то получим частные решения, например,
Пример 3.47 . Рассмотрим возрастающую денежную сумму, положенную в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть Yo начальная денежная сумма, а Yx - по истечении x лет. При начислении процентов один раз в год,получим
где x = 0, 1, 2, 3,.... При начислении процентов два раза в год, получим
где x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... При начислении процентов n раз в год и если x принимает последовательно значения 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., тогда
Обозначить 1/n = h , тогда предыдущее равенство будет иметь вид:
При н еограниченном увеличении n
(при 
) в пределе приходем к процессу возрастания денежной суммы при непрерывном начислении процентов:
таким образом видно, что при непрерывном изменении x закон изменения денежной массы выражается дифференциальным уравнением 1- го порядка. Где Y x - неизвестная функция, x - независимая переменная, r - постоянная. Решим данное уравнение, для этого перепишем его следующим образом:
откуда 
, или 
, где через P обозначено e C .
Из начальных условий Y(0) = Yo , найдем P: Yo = Pe o , откуда, Yo = P. Следовательно, решение имеет вид:
Рассмотрим вторую экономическую задачу. Макроэкономические модели тоже описываются линейным дифференциальным уравнениям 1-го порядка, описывающим изменение дохода или выпуска продукции Y как функций времени.
Пример 3.48 . Пусть национальный доход Y возрастает со скоростью, пропорциональной его величине:
и пусть, дефицит в расходах правительства прямо пропорционален доходу Y с коэффициентом пропорциональности q . Дефицит в расходах приводит к возрастанию национального долга D:
Начальные условия Y = Yo и D = Do при t = 0. Из первого уравнения Y= Yoe kt . Подставляя Y получаем dD/dt = qYoe kt . Общее решение имеет вид
D = (q/ k) Yoe kt +С, где С = const, которая определяется из начальных условий. Подставляя начальные условия, получаем Do = (q/ k)Yo + С. Итак, окончательно,
D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),
отсюда видно, что национальный долг возрастает с той же относительной скоростью k , что и национальный доход.
Рассмотрим ростейшие дифференциальные уравнения n -го порядка, это уравнения вида
Его общее решение получитм с помощью n раз интегрирований.
Пример 3.49. Рассмотрим пример y """ = cos x.
Решение. Интегрируя, находим
Общее решение имеет вид
Линейные дифференциальные уравнения
В экономике большое применение имеют , рассмотрим решение таких уравнений. Если (9.1) имеет вид:
то оно называется линейным, где рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) - заданные функции. Если f(x) = 0, то (9.2) называется однородными, в противном случае - неоднородным. Общее решение уравнения (9.2) равно сумме какого-либо его частного решения y(x) и общего решения однородного уравнения соответствующего ему:
Если коэффициенты р o (x), р 1 (x),..., р n (x) постоянные, то (9.2)
(9.4) называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами порядка n .
Для (9.4) имеет вид:
Можно положить без ограничения общности р o = 1 и записать (9.5) в виде
Будем искать решение (9.6) в виде y = e kx , где k - константа. Имеем: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Подставим полученные выражения в (9.6), будем иметь:
(9.7) есть алгебраическое уравнение, его неизвестным является k
, оно называется характеристическим. Характеристическое уравнение имеет степень n
и n
корней, среди которых могут быть как кратные, так и комплексные. Пусть k 1 , k 2 ,..., k n - действительные и различные, тогда 
- частные решения (9.7), а общее
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
Его характеристическое уравнение имеет вид
(9.9)
его дискриминант D = р 2 - 4q в зависимости от знака D возможны три случая.
1. Если D>0, то корни k 1 и k 2 (9.9) действительны и различны, и общее решение имеет вид:
Решение. Характеристическое уравнение: k 2 + 9 = 0, откуда k = ± 3i, a = 0, b = 3, общее решение имеет вид:
y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.
Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка применяются при изучении экономической модели паутинообразного типа с запасами товаров, где скорость изменения цены P зависит от величины запаса (см. параграф 10). В случае если спрос и предложение являются линейными функциями цены, то есть
а - есть постоянная, определяющая скорость реакции, то процесс изменения цены описывается дифференциальным уравнением:
За частное решения можно взять постоянную
имеющую смысл цены равновесия. Отклонение 
удовлетворяет однородному уравнению
(9.10)
Характеристическое уравнение будет следующее:
В случае член положителен. Обозначим 
. Корни характеристического уравнения k 1,2 = ± i w, поэтому общее решение (9.10) имеет вид:
где C и произвольные постоянные, они определяются из начальных условий. Получили закон изменения цены во времени:
Эта статья является отправной точкой в изучении теории дифференциальных уравнений. Здесь собраны основные определения и понятия, которые будут постоянно фигурировать в тексте. Для лучшего усвоения и понимания определения снабжены примерами.
Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, в которое входит неизвестная функция под знаком производной или дифференциала.
Если неизвестная функция является функцией одной переменной, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным (сокращенно ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение). Если же неизвестная функция есть функция многих переменных, то дифференциальное уравнение называют уравнением в частных производных .
Максимальный порядок производной неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения .
Вот примеры ОДУ первого, второго и пятого порядков соответственно
В качестве примеров уравнений в частных производных второго порядка приведем
Далее мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения n-ого
порядка вида 
или 
, где Ф(x, y) = 0
неизвестная функция, заданная неявно (когда возможно, будем ее записывать в явном представлении y = f(x)
).
Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения .
Решение дифференциального уравнения - это неявно заданная функция Ф(x, y) = 0 (в некоторых случаях функцию y можно выразить через аргумент x явно), которая обращает дифференциальное уравнение в тождество.
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ.
Решение дифференциального уравнения всегда ищется на заранее заданном интервале X .
Почему мы об этом говорим отдельно? Да потому что в условиях многих задач об интервале X
не упоминают. То есть, обычно условие задач формулируется так: «найдите решение обыкновенного дифференциального уравнения 
». В этом случае подразумевается, что решение следует искать для всех x
, при которых и искомая функция y
, и исходное уравнение имеют смысл.
Решение дифференциального уравнения часто называют интегралом дифференциального уравнения .
Функции или можно назвать решением дифференциального уравнения .
Одним из решений дифференциального уравнения является функция . Действительно, подставив эту функцию в исходное уравнение, получим тождество 
. Несложно заметить, что другим решением этого ОДУ является, например, . Таким образом, дифференциальные уравнения могут иметь множество решений.
Общее решение дифференциального уравнения – это множество решений, содержащее все без исключения решения этого дифференциального уравнения.
Общее решение дифференциального уравнения еще называют общим интегралом дифференциального уравнения .
Вернемся к примеру. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид или , где C – произвольная постоянная. Выше мы указали два решения этого ОДУ, которые получаются из общего интеграла дифференциального уравнения при подстановке С = 0 и C = 1 соответственно.
Если решение дифференциального уравнения удовлетворяет изначально заданным дополнительным условиям, то его называют частным решением дифференциального уравнения .
Частным решением дифференциального уравнения , удовлетворяющим условию y(1)=1
, является . Действительно, 
и 
.
Основными задачами теории дифференциальных уравнений являются задачи Коши, краевые задачи и задачи нахождения общего решения дифференциального уравнения на каком-либо заданном интервале X .
Задача Коши – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям , где - числа.
Краевая задача
– это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющего дополнительным условиям в граничных точках x 0
и x 1
:
f (x 0) = f 0
, f (x 1) = f 1
, где f 0
и f 1
- заданные числа.
Краевую задачу часто называют граничной задачей .
Обыкновенное дифференциальное уравнение n-ого порядка называется линейным , если оно имеет вид , а коэффициенты есть непрерывные функции аргумента x на интервале интегрирования.
Учреждение образования «Белорусская государственная
сельскохозяйственная академия»
Кафедра высшей математики
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Конспект лекции для студентов бухгалтерского факультета
заочной формы получения образования (НИСПО)
Горки, 2013
Дифференциальные уравнения первого порядка
Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решения
При изучении различных явлений часто не удаётся найти закон, который непосредственно связывает независимую переменную и искомую функцию, но можно установить связь между искомой функцией и её производными.
Соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и её производные, называется дифференциальным уравнением :
Здесь
x
– независимая переменная, y
– искомая функция,
-
производные искомой функции. При этом
в соотношении (1) обязательно наличие
хотя бы одной производной.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
.
(2)
Так в это уравнение входит производная только первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка.
Если уравнение (2) можно разрешить относительно производной и записать в виде
,
(3)
то такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка в нормальной форме.
Во многих случаях целесообразно рассматривать уравнение вида
которое называется дифференциальным уравнением первого порядка, записанным в дифференциальной форме.
Так
как
,
то уравнение (3) можно записать в виде
или
,
где можно считать
и
.
Это означает, что уравнение (3) преобразовано
в уравнение (4).
Запишем
уравнение (4) в виде
.
Тогда
,
,
,
где можно считать
, т.е. получено уравнение вида (3). Таким
образом, уравнения (3) и (4) равносильны.
Решением
дифференциального уравнения
(2) или (3) называется любая функция
,
которая при подстановке её в уравнение
(2) или (3) обращает его в тождество:
или
.
Процесс
нахождения всех решений дифференциального
уравнения называется его интегрированием
,
а график решения
дифференциального уравнения называетсяинтегральной
кривой
этого уравнения.
Если
решение дифференциального уравнения
получено в неявном виде
,
то оно называетсяинтегралом
данного дифференциального уравнения.
Общим
решением
дифференциального уравнения первого
порядка называется семейство функций
вида
,
зависящее от произвольной постояннойС
,
каждая из которых является решением
данного дифференциального уравнения
при любом допустимом значении произвольной
постоянной С
.
Таким образом, дифференциальное уравнение
имеет бесчисленное множество решений.
Частным
решением
дифференциального уравнения называется
решение, получаемое из формулы общего
решения при конкретном значении
произвольной постоянной С
,
включая
.
Задача Коши и её геометрическая интерпретация
Уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений. Чтобы из этого множества выделить одно решение, которое называется частным, нужно задать некоторые дополнительные условия.
Задача отыскания частного решения уравнения (2) при заданных условиях называется задачей Коши . Эта задача является одной из важнейших в теории дифференциальных уравнений.
Формулируется
задача Коши следующим образом: среди
всех решений уравнения (2) найти такое
решение
,
в котором функция
принимает заданное числовое значение
,
если независимая переменная
x
принимает заданное числовое значение
,
т.е.
,
,
(5)
где
D
– область определения функции
.
Значение
называетсяначальным
значением функции
,
а
– начальным
значением независимой переменной
.
Условие (5) называется начальным
условием
или условием
Коши
.
С
геометрической точки зрения задачу
Коши для дифференциального уравнения
(2) можно сформулировать следующим
образом: из
множества интегральных кривых уравнения
(2) выделить ту, которая проходит через
заданную точку
.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Одним из простейших видов дифференциальных уравнений является дифференциальное уравнение первого порядка, не содержащее искомой функции:
.
(6)
Учитывая,
что
,
запишем уравнение в виде
или
.
Интегрируя обе части последнего
уравнения, получим:
или
.
(7)
Таким образом, (7) является общим решением уравнения (6).
Пример
1
.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
.
Решение
.
Запишем уравнение в виде
или
.
Проинтегрируем обе части полученного
уравнения:
,
.
Окончательно запишем
.
Пример
2
.
Найти решение уравнения
при условии
.
Решение
.
Найдём общее решение уравнения:
,
,
,
.
По условию
,
.
Подставим в общее решение:
или
.
Найденное значение произвольной
постоянной подставим в формулу общего
решения:
.
Это и есть частное решение дифференциального
уравнения, удовлетворяющее заданному
условию.
Уравнение
(8)
Называется
дифференциальным
уравнением первого порядка, не содержащим
независимой переменной
.
Запишем его в виде
или
.
Проинтегрируем обе части последнего
уравнения:
или
- общее решение уравнения (8).
Пример
.
Найти общее решение уравнения
.
Решение
.
Запишем это уравнение в виде:
или
.
Тогда
,
,
,
.
Таким образом,
– общее решение данного уравнения.
Уравнение вида
(9)
интегрируется
с помощью разделения переменных. Для
этого уравнение запишем в виде
,
а затем с помощью операций умножения и
деления приводим его к такой форме,
чтобы в одну часть входила только функция
отх
и дифференциал dx
,
а во вторую часть – функция от у
и дифференциал dy
.
Для этого обе части уравнения нужно
умножить на dx
и разделить на
.
В результате получим уравнение
,
(10)
в
котором переменные х
и у
разделены. Проинтегрируем обе части
уравнения (10):
.
Полученное соотношение является общим
интегралом уравнения (9).
Пример
3
.
Проинтегрировать
уравнение
.
Решение
.
Преобразуем уравнение и разделим
переменные:
,
.
Проинтегрируем:
,
или – общий интеграл данного уравнения.
.
Пусть уравнение задано в виде
Такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными в симметрической форме.
Для
разделения переменных нужно обе части
уравнения разделить на
:
.
(12)
Полученное уравнение называется дифференциальным уравнением с разделёнными переменными . Проинтегрируем уравнение (12):
.
(13)
Соотношение (13) является общим интегралом дифференциального уравнения (11).
Пример 4 . Проинтегрировать дифференциальное уравнение .
Решение . Запишем уравнение в виде
и
разделим обе его части на
,
.
Полученное уравнение:
является уравнением с разделёнными
переменными. Проинтегрируем его:
,
,
,
.
Последнее равенство является общим
интегралом данного дифференциального
уравнения.
Пример
5
.
Найти частное решение дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее условию
.
Решение
.
Учитывая, что
,
запишем уравнение в виде
или
.
Разделим переменные:
.
Проинтегрируем это уравнение:
,
,
.
Полученное соотношение является общим
интегралом данного уравнения. По условию
.
Подставим в общий интеграл и найдёмС
:
,С
=1.
Тогда выражение
является частным решением данного
дифференциального уравнения, записанным
в виде частного интеграла.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение
(14)
называется
линейным
дифференциальным уравнением первого
порядка
.
Неизвестная функция
и её производная входят в это уравнение
линейно, а функции
и
непрерывны.
Если
,
то уравнение
(15)
называется
линейным
однородным
.
Если
,
то уравнение (14) называетсялинейным
неоднородным
.
Для нахождения решения уравнения (14) обычно используют метод подстановки (Бернулли) , суть которого в следующем.
Решение уравнения (14) будем искать в виде произведения двух функций
,
(16)
где
и
-
некоторые непрерывные функции. Подставим
и производную
в уравнение (14):
Функцию
v
будем подбирать таким образом, чтобы
выполнялось условие
.
Тогда
.
Таким образом, для нахождения решения
уравнения (14) нужно решить систему
дифференциальных уравнений
Первое
уравнение системы является линейным
однородным уравнением и решить его
можно методом разделения переменных:
,
,
,
,
.
В качестве функции
можно
взять одно из частных решений однородного
уравнения, т.е. приС
=1:
.
Подставим во второе уравнение системы:
или
.Тогда
.
Таким образом, общее решение линейного
дифференциального уравнения первого
порядка имеет вид
.
Пример
6
.
Решить уравнение
.
Решение
.
Решение уравнения будем искать в виде
.
Тогда
.
Подставим в уравнение:
или
.
Функциюv
выберем таким образом, чтобы выполнялось
равенство
.
Тогда
.
Решим первое из этих уравнений методом
разделения переменных:
,
,
,
,
.
Функциюv
подставим во второе уравнение:
,
,
,
.
Общим решением данного уравнения
является
.
Вопросы для самоконтроля знаний
Что называется дифференциальным уравнением?
Что называется порядком дифференциального уравнения?
Какое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка?
Как записывается дифференциальное уравнение первого порядка в дифференциальной форме?
Что называется решением дифференциального уравнения?
Что называется интегральной кривой?
Что называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка?
Что называется частным решением дифференциального уравнения?
Как формулируется задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка?
Какова геометрическая интерпретация задачи Коши?
Как записывается дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными в симметрической форме?
Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка?
Каким методом можно решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка и в чём суть этого метода?
Задания для самостоятельной работы
Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2. Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Решение дифференциальных уравнений. Благодаря нашему онлайн сервису вам доступно решение дифференциальных уравнений любого вида и сложности: неоднородные, однородные, нелинейные, линейные, первого, второго порядка, с разделяющимися переменными или не разделяющимися и т.д. Вы получаете решение дифференциальных уравнений в аналитическом виде с подробным описанием. Многие интересуются: зачем необходимо решать дифференциальные уравнения онлайн? Данный вид уравнений очень распространён в математике и физике, где решить многие задачи без вычисления дифференциального уравнения будет невозможно. Также дифференциальные уравнения распространены в экономике, медицине, биологии, химии и других науках. Решение же такого уравнения в онлайн режиме значительно облегчает вам поставленные задачи, дает возможность лучше усвоить материал и проверить себя. Преимущества решения дифференциальных уравнений онлайн. Современный математический сервис сайт позволяет решать дифференциальные уравнения онлайн любой сложности. Как вы знаете, существует большое количество видов дифференциальных уравнений и для каждого из них предусмотрены свои способы решения. На нашем сервисе вы можете найти решение дифференциальных уравнений любого порядка и вида в онлайн режиме. Для получения решения мы предлагаем вам заполнить исходные данные и нажать кнопку «Решение». Ошибки в работе сервиса исключены, поэтому вы можете на 100% быть уверены, что получили верный ответ. Решайте дифференциальные уравнения вместе с нашим сервисом. Решить дифференциальные уравнения онлайн. По умолчанию в таком уравнении функция y – это функция от x переменной. Но вы можете задавать и свое обозначение переменной. Например, если вы укажете в дифференциальном уравнении y(t), то наш сервис автоматически определит, что у является функцией от t переменной. Порядок всего дифференциального уравнения будет зависеть от максимального порядка производной функции, присутствующей в уравнении. Решить такое уравнение – означает найти искомую функцию. Решить дифференциальные уравнения онлайн вам поможет наш сервис. Для решения уравнения от вас не потребуется много усилий. Необходимо лишь ввести в нужные поля левую и правую части вашего уравнения и нажать кнопку «Решение». При вводе производную от функции необходимо обозначать через апостроф. Через считанные секунды вы получите готовое подробное решение дифференциального уравнения. Наш сервис абсолютно бесплатный. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Если в дифференциальном уравнении в левой части находится выражение, зависящее от y, а правой части – выражение, которое зависит от x, то такое дифференциальное уравнение называется с разделяющимися переменными. В левой части может быть производная от y, решение дифференциальных уравнений такого вида будет в виде функции y, выраженной через интеграл от правой части уравнения. Если же в левой части будет дифференциал функции от y, то в таком случае интегрируются обе части уравнения. Когда переменные в дифференциальном уравнении не разделены, то их потребуется разделить, чтобы получить дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Линейное дифференциальное уравнение. Линейным называется дифференциальное уравнение, у которого функция и все ее производные находятся в первой степени. Общий вид уравнения: y’+a1(x)y=f(x). f(x) и a1(x) – это непрерывные функции от x. Решение дифференциальных уравнений такого типа сводится к интегрированию двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными. Порядок дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение может быть первого, второго, n-го порядка. Порядок дифференциального уравнения определяет порядок старшей производной, которая содержится в нем. В нашем сервисе вы можете решить дифференциальные уравнения онлайн первого, второго, третьего и т.д. порядка. Решением уравнения будет любая функция y=f(x), подставив которую в уравнение, вы получите тождество. Процесс поиска решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Задача Коши. Если помимо самого дифференциального уравнения задается первоначальное условие y(x0)=y0, то это называется задачей Коши. В решение уравнения добавляются показатели y0 и x0 и определяют значение произвольной константы C, а потом частное решение уравнения при этом значении C. Это и является решением задачи Коши. Еще задачу Коши называют задачей с граничными условиями, что очень распространено в физике и механике. Также у вас есть возможность задать задачу Коши, то есть из всех возможных решений уравнения выбрать частное, которое отвечает заданным первоначальным условиям.
Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка, т.е. уравнение
и установим некоторые свойства его решений.
Свойство 1
Если
является
решением линейного однородного
уравнения, то C
,
где C
- произвольная постоянная,
является решением того же
уравнения.
Доказательство.
Подставляя
в левую часть рассматриваемого
уравнения C
,
получим:
,
но
,
т.к.
является
решением исходного уравнения.
Следовательно,
и
справедливость указанного свойства
доказана.
Свойство 2
Сумма двух решений
линейного однородного уравнения
является решением того же уравнения.
Доказательство.
Пусть
и
являются
решениями рассматриваемого уравнения,
тогда
и
.
Подставляя теперь
+
в рассматриваемое уравнение будем
иметь:
,
т.е.
+
есть решение исходного уравнения.
Из доказанных свойств следует, что,
зная два частных решения
и
линейного
однородного уравнения второго порядка,
мы можем получить решение
,
зависящее от двух произвольных
постоянных, т.е. от такого количества
постоянных, какое должно содержать
общее решение уравнение второго
порядка. Но будет ли это решение общим,
т.е. можно ли путем выбора произвольных
постоянных
и
удовлетворить
произвольно заданным начальным
условиям?
При ответе на этот вопрос
будет использовано понятие линейной
независимости функций, которую можно
определить следующим образом.
Две функции
и
называются
линейно независимыми
на некотором
интервале, если их отношение на этом
интервале не является постоянным,
т.е. если
.
В противном случае функции называются
линейно зависимыми
.
Иными
словами, две функции
и
называются
линейно зависимыми на некотором
интервале, если
на
всем интервале.
Примеры
1. Функции y
1
= e
x
и
y
2
=
e
-
x
линейно
независимы при всех значениях x , т.к.
.
2. Функции y
1
= e
x
и
y
2
=
5 e
x
линейно
зависимы, т.к. 
.
Теорема 1.
Если функции и линейно зависимы на некотором интервале, то определитель , называемый определителем Вронского данных функций, тождественно равен нулю на этом интервале.
Доказательство.
Если
,
где
,
то
и
.
Следовательно,
.
Теорема доказана.
Замечание.
Определитель Вронского,
фигурирующий в рассмотренной теореме,
обычно обозначается буквой W
или
символами
.
Если функции
и
являются
решениями линейного однородного
уравнения второго порядка, то для них
справедлива следующая обратная и
притом более сильная теорема.
Теорема 2.
Если определитель Вронского, составленный для решений и линейного однородного уравнения второго порядка, обращается в ноль хотя бы в одной точке, то эти решения линейно зависимы.
Доказательство.
Пусть определитель Вронского обращается
в ноль в точке
,
т.е.
=0,
и пусть
и
.
Рассмотрим линейную однородную
систему 
относительно
неизвестных
и
.
Определитель этой системы
совпадает
со значением определителя Вронского
при
x=
,
т.е. совпадает с
,
и, следовательно, равен нулю. Поэтому
система имеет ненулевое решение
и
(
и
не
равны нулю). Используя эти значения
и
,
рассмотрим функцию
.
Эта функция является решением того
же уравнения, что и функции
и
.
Кроме того, эта функция удовлетворяет
нулевым начальным условиям:
,
т.к.
и
.
С другой стороны, очевидно, что
решением уравнения
,
удовлетворяющим нулевым начальным
условиям, является функция y
=0.
В
силу единственности решения, имеем:
.
Откуда следует, что 
,
т.е. функции
и
линейно
зависимы. Теорема доказана.
Следствия.
1. Если определитель Вронского, фигурирующий в теоремах, равен нулю при каком-нибудь значении x= , то он равен нулю при любом значении x из рассматриваемого интервала.
2. Если решения и линейно независимы, то определитель Вронского не обращается в ноль ни в одной точке рассматриваемого интервала.
3. Если определитель Вронского отличен от нуля хотя бы в одной точке, то решения и линейно независимы.
Теорема 3.
Если и - два линейно независимых решения однородного уравнения второго порядка , то функция , где и - произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.
Доказательство.
Как известно, функция
является
решением рассматриваемого уравнения
при любых значениях
и
.
Докажем теперь, что каковы бы ни были
начальные условия
и
,
можно так подобрать значения
произвольных постоянных
и
,
чтобы соответствующее частное решение
удовлетворяло заданным начальным
условиям.
Подставляя начальные
условия в равенства, получим систему
уравнений 
.
Из этой системы можно определить
и
,
т.к. определитель этой системы 
есть
определитель Вронского при x=
и,
следовательно, не равен нулю (в силу
линейной независимости решений
и
).
;
.
Частное решение при полученных значениях и удовлетворяет заданным начальным условиям. Таким образом, теорема доказана.
Примеры
Пример 1.
Общим решением
уравнения
является
решение
.
Действительно,
.
Следовательно, функции sinx и cosx линейно независимы. В этом можно убедиться, рассмотрев отношение этих функций:
Пример 2.
Решение y = C
1
e
x
+
C
2
e
- x
уравнения
является
общим, т.к.
.
Пример 3.
Уравнение
,
коэффициенты которого
и
непрерывны
на любом интервале, не содержащем
точки x = 0, допускает частные решения
(легко
проверить подстановкой). Следовательно,
его общее решение имеет вид: 
.
Замечание
Мы установили, что общее решение линейного однородного уравнения второго порядка можно получить зная два каких-либо линейно независимых частных решения этого уравнения. Однако, не существует общих методов для нахождения таких частных решений в конечном виде для уравнений с переменными коэффициентами. Для уравнений с постоянными коэффициентами такой метод существует и будет рассмотрен нами позднее.
Возможно, будет полезно почитать:
- Аббатство - это католический монастырь ;
- Самые распространенные расклады ;
- Быт и обычаи Обычаи и нравы 19 века ;
- К чему снятся жабы и лягушки: мужчине, девушке, женщине, беременной – толкования разных сонников ;
- Основные характеристики марса ;
- Должностная инструкция транспортного экспедитора ;
- Татаро-монгольское иго или история о том, как ложь стала правдой ;
- Журавль толкование сонника ;