Частные решения дифференциальных уравнений первого порядка. Как решать дифференциальные уравнения

Решение дифференциальных уравнений. Благодаря нашему онлайн сервису вам доступно решение дифференциальных уравнений любого вида и сложности: неоднородные, однородные, нелинейные, линейные, первого, второго порядка, с разделяющимися переменными или не разделяющимися и т.д. Вы получаете решение дифференциальных уравнений в аналитическом виде с подробным описанием. Многие интересуются: зачем необходимо решать дифференциальные уравнения онлайн? Данный вид уравнений очень распространён в математике и физике, где решить многие задачи без вычисления дифференциального уравнения будет невозможно. Также дифференциальные уравнения распространены в экономике, медицине, биологии, химии и других науках. Решение же такого уравнения в онлайн режиме значительно облегчает вам поставленные задачи, дает возможность лучше усвоить материал и проверить себя. Преимущества решения дифференциальных уравнений онлайн. Современный математический сервис сайт позволяет решать дифференциальные уравнения онлайн любой сложности. Как вы знаете, существует большое количество видов дифференциальных уравнений и для каждого из них предусмотрены свои способы решения. На нашем сервисе вы можете найти решение дифференциальных уравнений любого порядка и вида в онлайн режиме. Для получения решения мы предлагаем вам заполнить исходные данные и нажать кнопку «Решение». Ошибки в работе сервиса исключены, поэтому вы можете на 100% быть уверены, что получили верный ответ. Решайте дифференциальные уравнения вместе с нашим сервисом. Решить дифференциальные уравнения онлайн. По умолчанию в таком уравнении функция y – это функция от x переменной. Но вы можете задавать и свое обозначение переменной. Например, если вы укажете в дифференциальном уравнении y(t), то наш сервис автоматически определит, что у является функцией от t переменной. Порядок всего дифференциального уравнения будет зависеть от максимального порядка производной функции, присутствующей в уравнении. Решить такое уравнение – означает найти искомую функцию. Решить дифференциальные уравнения онлайн вам поможет наш сервис. Для решения уравнения от вас не потребуется много усилий. Необходимо лишь ввести в нужные поля левую и правую части вашего уравнения и нажать кнопку «Решение». При вводе производную от функции необходимо обозначать через апостроф. Через считанные секунды вы получите готовое подробное решение дифференциального уравнения. Наш сервис абсолютно бесплатный. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Если в дифференциальном уравнении в левой части находится выражение, зависящее от y, а правой части – выражение, которое зависит от x, то такое дифференциальное уравнение называется с разделяющимися переменными. В левой части может быть производная от y, решение дифференциальных уравнений такого вида будет в виде функции y, выраженной через интеграл от правой части уравнения. Если же в левой части будет дифференциал функции от y, то в таком случае интегрируются обе части уравнения. Когда переменные в дифференциальном уравнении не разделены, то их потребуется разделить, чтобы получить дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Линейное дифференциальное уравнение. Линейным называется дифференциальное уравнение, у которого функция и все ее производные находятся в первой степени. Общий вид уравнения: y’+a1(x)y=f(x). f(x) и a1(x) – это непрерывные функции от x. Решение дифференциальных уравнений такого типа сводится к интегрированию двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными. Порядок дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение может быть первого, второго, n-го порядка. Порядок дифференциального уравнения определяет порядок старшей производной, которая содержится в нем. В нашем сервисе вы можете решить дифференциальные уравнения онлайн первого, второго, третьего и т.д. порядка. Решением уравнения будет любая функция y=f(x), подставив которую в уравнение, вы получите тождество. Процесс поиска решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Задача Коши. Если помимо самого дифференциального уравнения задается первоначальное условие y(x0)=y0, то это называется задачей Коши. В решение уравнения добавляются показатели y0 и x0 и определяют значение произвольной константы C, а потом частное решение уравнения при этом значении C. Это и является решением задачи Коши. Еще задачу Коши называют задачей с граничными условиями, что очень распространено в физике и механике. Также у вас есть возможность задать задачу Коши, то есть из всех возможных решений уравнения выбрать частное, которое отвечает заданным первоначальным условиям.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения (ДУ). Эти два слова обычно приводят в ужас среднестатистического обывателя. Дифференциальные уравнения кажутся чем-то запредельным и трудным в освоении и многим студентам. Уууууу… дифференциальные уравнения, как бы мне всё это пережить?!

Такое мнение и такой настрой в корне неверен, потому что на самом деле ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ – ЭТО ПРОСТО И ДАЖЕ УВЛЕКАТЕЛЬНО . Что нужно знать и уметь, для того чтобы научиться решать дифференциальные уравнения? Для успешного изучения диффуров вы должны хорошо уметь интегрировать и дифференцировать. Чем качественнее изучены темы Производная функции одной переменной и Неопределенный интеграл , тем будет легче разобраться в дифференциальных уравнениях. Скажу больше, если у вас более или менее приличные навыки интегрирования, то тема практически освоена! Чем больше интегралов различных типов вы умеете решать – тем лучше. Почему? Придётся много интегрировать. И дифференцировать. Также настоятельно рекомендую научиться находить .

В 95% случаев в контрольных работах встречаются 3 типа дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными , которые мы рассмотрим на этом уроке; однородные уравнения и линейные неоднородные уравнения . Начинающим изучать диффуры советую ознакомиться с уроками именно в такой последовательности, причём после изучения первых двух статей не помешает закрепить свои навыки на дополнительном практикуме – уравнения, сводящихся к однородным .

Есть еще более редкие типы дифференциальных уравнений: уравнения в полных дифференциалах , уравнения Бернулли и некоторые другие. Наиболее важными из двух последних видов являются уравнения в полных дифференциалах, поскольку помимо данного ДУ я рассматриваю новый материал – частное интегрирование .

Если у вас в запасе всего день-два , то для сверхбыстрой подготовки есть блиц-курс в pdf-формате.

Итак, ориентиры расставлены – поехали:

Сначала вспомним обычные алгебраические уравнения . Они содержат переменные и числа. Простейший пример: . Что значит решить обычное уравнение? Это значит, найти множество чисел , которые удовлетворяют данному уравнению. Легко заметить, что детское уравнение имеет единственный корень: . Для прикола сделаем проверку, подставим найденный корень в наше уравнение:

– получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Диффуры устроены примерно так же!

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит :
1) независимую переменную ;
2) зависимую переменную (функцию);
3) первую производную функции: .

В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это не существенно – важно чтобы в ДУ была первая производная , и не было производных высших порядков – , и т.д.

Что значит ? Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество всех функций , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций часто имеет вид (– произвольная постоянная), который называется общим решением дифференциального уравнения .

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение

Полный боекомплект. С чего начать решение ?

В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение , которое многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным. В диффурах рулит именно оно!

На втором шагесмотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки» , а в правой части организовать только «иксы» . Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.

Дифференциалы и – это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения . Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:

Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу достаточно записать один раз (т.к. константа + константа всё равно равна другой константе) . В большинстве случаев её помещают в правую часть.

Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения . То есть, – это общий интеграл.

Ответ в такой форме вполне приемлем, но нет ли варианта получше? Давайте попытаемся получить общее решение .

Пожалуйста, запомните первый технический приём , он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) тоже целесообразно записать под логарифмом .

То есть, ВМЕСТО записи обычно пишут .

Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем свойство логарифмов . В данном случае:

Теперь логарифмы и модули можно убрать:

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Ответ : общее решение: .

Ответы многих дифференциальных уравнений довольно легко проверить. В нашем случае это делается совсем просто, берём найденное решение и дифференцируем его:

После чего подставляем и производную в исходное уравнение :

– получено верное равенство, значит, общее решение удовлетворяет уравнению , что и требовалось проверить.

Придавая константе различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Ясно, что любая из функций , , и т.д. удовлетворяет дифференциальному уравнению .

Иногда общее решение называют семейством функций . В данном примере общее решение – это семейство линейных функций, а точнее, семейство прямых пропорциональностей.

После обстоятельного разжевывания первого примера уместно ответить на несколько наивных вопросов о дифференциальных уравнениях:

1) В этом примере нам удалось разделить переменные. Всегда ли это можно сделать? Нет, не всегда. И даже чаще переменные разделить нельзя. Например, в однородных уравнениях первого порядка , необходимо сначала провести замену. В других типах уравнений, например, в линейном неоднородном уравнении первого порядка , нужно использовать различные приёмы и методы для нахождения общего решения. Уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассматриваем на первом уроке – простейший тип дифференциальных уравнений.

2) Всегда ли можно проинтегрировать дифференциальное уравнение? Нет, не всегда. Очень легко придумать «навороченное» уравнение, которое не проинтегрировать, кроме того, существуют неберущиеся интегралы. Но подобные ДУ можно решить приближенно с помощью специальных методов. Даламбер и Коши гарантируют... …тьфу, lurkmore.to давеча начитался, чуть не добавил «с того света».

3) В данном примере мы получили решение в виде общего интеграла . Всегда ли можно из общего интеграла найти общее решение, то есть, выразить «игрек» в явном виде? Нет не всегда. Например: . Ну и как тут выразить «игрек»?! В таких случаях ответ следует записать в виде общего интеграла. Кроме того, иногда общее решение найти можно, но оно записывается настолько громоздко и коряво, что уж лучше оставить ответ в виде общего интеграла

4) ...пожалуй, пока достаточно. В первом же примере нам встретился ещё один важный момент , но дабы не накрыть «чайников» лавиной новой информации, оставлю его до следующего урока.

Торопиться не будем. Еще одно простое ДУ и еще один типовой приём решения:

Пример 2

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

Решение : по условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданному начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши .

Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не должно смущать, главное, в нём есть первая производная.

Переписываем производную в нужном виде:

Очевидно, что переменные можно разделить, мальчики – налево, девочки – направо:

Интегрируем уравнение:

Общий интеграл получен. Здесь константу я нарисовал с надстрочной звездочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу.

Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить «игрек» в явном виде). Вспоминаем старое, доброе, школьное: . В данном случае:

Константа в показателе смотрится как-то некошерно, поэтому её обычно спускают с небес на землю. Если подробно, то происходит это так. Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:

Если – это константа, то – тоже некоторая константа, переообозначим её буквой :

Запомните «снос» константы – это второй технический приём , который часто используют в ходе решения дифференциальных уравнений.

Итак, общее решение: . Такое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций.

На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию . Это тоже просто.

В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось условие .

Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:

То есть,

Стандартная версия оформления:

Теперь в общее решение подставляем найденное значение константы :
– это и есть нужное нам частное решение.

Ответ : частное решение:

Выполним проверку. Проверка частного решение включает в себя два этапа:

Сначала необходимо проверить, а действительно ли найденное частное решение удовлетворяет начальному условию ? Вместо «икса» подставляем ноль и смотрим, что получится:
– да, действительно получена двойка, значит, начальное условие выполняется.

Второй этап уже знаком. Берём полученное частное решение и находим производную:

Подставляем и в исходное уравнение :

– получено верное равенство.

Вывод: частное решение найдено правильно.

Переходим к более содержательным примерам.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение

Решение: Переписываем производную в нужном нам виде:

Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:

И перекидываем множители по правилу пропорции:

Переменные разделены, интегрируем обе части:

Должен предупредить, приближается судный день. Если вы плохо изучили неопределенные интегралы , прорешали мало примеров, то деваться некуда – придется их осваивать сейчас.

Интеграл левой части легко найти , с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом, который мы рассматривали на уроке Интегрирование тригонометрических функций в прошлом году:

В правой части у нас получился логарифм, и, согласно моей первой технической рекомендации, константу тоже следует записать под логарифмом.

Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них вполне можно (и нужно) избавиться. С помощью известных свойств максимально «упаковываем» логарифмы. Распишу очень подробно:

Упаковка завершена, чтобы быть варварски ободранной:

Можно ли выразить «игрек»? Можно. Надо возвести в квадрат обе части.

Но делать этого не нужно.

Третий технический совет: если для получения общего решения нужно возводить в степень или извлекать корни, то в большинстве случаев следует воздержаться от этих действий и оставить ответ в виде общего интеграла. Дело в том, что общее решение будет смотреться просто ужасно – с большими корнями, знаками и прочим трэшем.

Поэтому ответ запишем в виде общего интеграла. Хорошим тоном считается представить его в виде , то есть, в правой части, по возможности, оставить только константу. Делать это не обязательно, но всегда же выгодно порадовать профессора;-)

Ответ: общий интеграл:

! Примечание: общий интеграл любого уравнения можно записать не единственным способом. Таким образом, если ваш результат не совпал с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.

Общий интеграл тоже проверяется довольно легко, главное, уметь находить производную от функции, заданной неявно . Дифференцируем ответ:

Умножаем оба слагаемых на :

И делим на :

Получено в точности исходное дифференциальное уравнение , значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения.

Напоминаю, что алгоритм состоит из двух этапов:
1) нахождение общего решения;
2) нахождение требуемого частного решения.

Проверка тоже проводится в два шага (см. образец в Примере №2), нужно:
1) убедиться, что найденное частное решение удовлетворяет начальному условию;
2) проверить, что частное решение вообще удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Полное решение и ответ в конце урока.

Пример 5

Решение: Сначала найдем общее решение.Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы и , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:

Интегрируем уравнение:

Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции под знак дифференциала :

Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы на обе части. Поскольку они положительны, то знаки модуля излишни:

(Надеюсь, всем понятно преобразование , такие вещи надо бы уже знать)

Итак, общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию .
В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Более привычное оформление:

Подставляем найденное значение константы в общее решение.

Ответ: частное решение:

Проверка: Сначала проверим, выполнено ли начальное условие :
– всё гуд.

Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение дифференциальному уравнению. Находим производную:

Смотрим на исходное уравнение: – оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной выразить дифференциал :

Подставим найденное частное решение и полученный дифференциал в исходное уравнение :

Используем основное логарифмическое тождество :

Получено верное равенство, значит, частное решение найдено правильно.

Второй способ проверки зеркален и более привычен: из уравнения выразим производную, для этого разделим все штуки на :

И в преобразованное ДУ подставим полученное частное решение и найденную производную . В результате упрощений тоже должно получиться верное равенство.

Пример 6

Решить дифференциальное уравнение . Ответ представить в виде общего интеграла .

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Какие трудности подстерегают при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными?

1) Не всегда очевидно (особенно, «чайнику»), что переменные можно разделить. Рассмотрим условный пример: . Здесь нужно провести вынесение множителей за скобки: и отделить корни: . Как действовать дальше – понятно.

2) Сложности при самом интегрировании. Интегралы нередко возникают не самые простые, и если есть изъяны в навыках нахождения неопределенного интеграла , то со многими диффурами придется туго. К тому же у составителей сборников и методичек популярна логика «раз уж дифференциальное уравнение является простым, то пусть хоть интегралы будут посложнее».

3) Преобразования с константой. Как все заметили, с константой в дифференциальных уравнениях можно обращаться достаточно вольно, и некоторые преобразования не всегда понятны новичку. Рассмотрим ещё один условный пример: . В нём целесообразно умножить все слагаемые на 2: . Полученная константа – это тоже какая-то константа, которую можно обозначить через : . Да, и коль скоро в правой части логарифм, то константу целесообразно переписать в виде другой константы: .

Беда же состоит в том, что с индексами частенько не заморачиваются и используют одну и ту же букву . В результате запись решения принимает следующий вид:

Что за ересь? Тут же ошибки! Строго говоря – да. Однако с содержательной точки зрения – ошибок нет, ведь в результате преобразования варьируемой константы всё равно получается варьируемая константа.

Или другой пример, предположим, что в ходе решения уравнения получен общий интеграл . Такой ответ выглядит некрасиво, поэтому у каждого слагаемого целесообразно сменить знак: . Формально здесь опять ошибка – справа следовало бы записать . Но неформально подразумевается, что «минус цэ» – это всё равно константа (которая с тем же успехом принимает любые значения!) , поэтому ставить «минус» не имеет смысла и можно использовать ту же букву .

Я буду стараться избегать небрежного подхода, и всё-таки проставлять у констант разные индексы при их преобразовании.

Пример 7

Решить дифференциальное уравнение . Выполнить проверку.

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Интегрируем:

Константу тут не обязательно определять под логарифм, поскольку ничего путного из этого не получится.

Ответ: общий интеграл:

Проверка: Дифференцируем ответ (неявную функцию):

Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на :

Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 8

Найти частное решение ДУ.
,

Это пример для самостоятельного решения. Единственная подсказка – здесь получится общий интеграл, и, правильнее говоря, нужно исхитриться найти не частное решение, а частный интеграл . Полное решение и ответ в конце урока.

6.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

При решении различных задач математики и физики, биологии и медицины довольно часто не удается сразу установить функциональную зависимость в виде формулы, связывающей переменные величины, которые описывают исследуемый процесс. Обычно приходится использовать уравнения, содержащие, кроме независимой переменной и неизвестной функции, еще и ее производные.

Определение. Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные различных порядков, называется дифференциальным.

Неизвестную функцию обычно обозначают y(x) или просто y, а ее производные - y" , y" и т. д.

Возможны и другие обозначения, например: если y = x(t), то x"(t), x""(t) - ее производные, а t - независимая переменная.

Определение. Если функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения:

или

Функции F и f могут не содержать некоторых аргументов, но для того, чтобы уравнения были дифференциальными, существенно наличие производной.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него.

Например, x 2 y" - y = 0, y" + sinx = 0 - уравнения первого порядка, а y" + 2 y" + 5 y = x - уравнение второго порядка.

При решении дифференциальных уравнений используется операция интегрирования, что связано с появлением произвольной постоянной. Если действие интегрирования применяется n раз, то, очевидно, и в решении будет содержаться n произвольных постоянных.

6.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка определяется выражением

Уравнение может не содержать в явном виде x и y, но обязательно содержит у".

Если уравнение можно записать в виде

то получим дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка (6.3) (или (6.4)) является множество решений, где С - произвольная постоянная.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Придавая произвольной постоянной С различные значения, можно получить частные решения. На плоскости xOy общее решение представляет собой семейство интегральных кривых, соответствующих каждому частному решению.

Если задать точку A (x 0 , y 0), через которую должна проходить интегральная кривая, то, как правило, из множества функций можно выделить одну - частное решение.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения называется его решение, не содержащее произвольных постоянных.

Еслиявляется общим решением, тогда из условия

можно найти постоянную С. Условиеназывают начальным условием.

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения (6.3) или (6.4), удовлетворяющего начальному условиюпри называется задачей Коши. Всегда ли эта задача имеет решение? Ответ содержит следующая теорема.

Теорема Коши (теорема существования и единственности решения). Пусть в дифференциальном уравнении y" = f (x, y) функция f (x, y) и ее

частная производная определены и непрерывны в некоторой

области D, содержащей точкуТогда в области D существует

единственное решение уравнения, удовлетворяющее начальному условиюпри

Теорема Коши утверждает, что при определенных условиях существует единственная интегральная кривая y = f (x), проходящая через точкуТочки, в которых не выполняются условия теоремы

Коши, называются особыми. В этих точках терпит разрыв f (x, y) или.

Через особую точку проходит либо несколько интегральных кривых, либо ни одной.

Определение. Если решение (6.3), (6.4) найдено в виде f (x, y, C) = 0, не разрешенным относительно у, то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Теорема Коши только гарантирует, что решение существует. Поскольку единого метода нахождения решения нет, мы будем рассматривать только некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка, интегрируемые в квадратурах.

Определение. Дифференциальное уравнение называется интегрируемым в квадратурах, если отыскание его решения сводится к интегрированию функций.

6.2.1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными,

Правая часть уравнения (6.5) представляет собой произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной.

Например, уравнениеявляется уравнением с разделяющи-

мися переменными
а уравнение

нельзя представить в виде (6.5).

Учитывая, что, перепишем (6.5) в виде

Из этого уравнения получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными, в котором при дифференциалах стоят функции, зависящие лишь от соответствующей переменной:

Интегрируя почленно, имеем

где C = C 2 - C 1 - произвольная постоянная. Выражение (6.6) представляет собой общий интеграл уравнения (6.5).

Разделив обе части уравнения (6.5) на,, мы можем потерять те решения, при которых,Действительно, еслипри

тоочевидно, является решением уравнения (6.5).

Пример 1. Найти решение уравненияудовлетворяющее

условию: y = 6 при x = 2 (y (2) = 6).

Решение. Заменим у" натогда. Умножим обе части на

dx, так как при дальнейшем интегрировании нельзя оставлять dx в знаменателе:

а затем, разделив обе части наполучим уравнение,

которое можно проинтегрировать. Интегрируем:

Тогда; потенцируя, получим y = C . (x + 1) - об-

щее решение.

По начальным данным определяем произвольную постоянную, подставив их в общее решение

Окончательно получаем y = 2(x + 1) - частное решение. Рассмотрим еще несколько примеров решения уравнений с разделяющимися переменными.

Пример 2. Найти решение уравнения

Решение. Учитывая, что, получим.

Проинтегрировав обе части уравнения, будем иметь

откуда

Пример 3. Найти решение уравненияРешение. Делим обе части уравнения на те сомножители, которые зависят от переменной, не совпадающей с переменной под знаком дифференциала, т. е. наи интегрируем. Тогда получим

и, наконец,

Пример 4. Найти решение уравнения

Решение. Зная, чтополучим. Разде-

лим переменные. Тогда

Интегрируя, получим

Замечание. В примерах 1 и 2 искомая функция y выражена явно (общее решение). В примерах 3 и 4 - неявно (общий интеграл). В дальнейшем форма решения оговариваться не будет.

Пример 5. Найти решение уравненияРешение.

Пример 6. Найти решение уравнения, удовлетворяющее

условию y(e) = 1.

Решение. Запишем уравнение в виде

Умножая обе части уравнения на dx и на, получим

Интегрируя обе части уравнения (интеграл в правой части берется по частям), получим

Но по условию y = 1 при x = e . Тогда

Подставим найденные значения С в общее решение:

Полученное выражение называется частным решением дифференциального уравнения.

6.2.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно представить в виде

Приведем алгоритм решения однородного уравнения.

1.Вместо y введем новую функциюТогдаи, следовательно,

2.В терминах функции u уравнение (6.7) принимает вид

т. е. замена сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

3.Решая уравнение (6.8), находим сначала u, а затем y = ux.

Пример 1. Решить уравнениеРешение. Запишем уравнение в виде

Производим подстановку:
Тогда

Заменим

Умножим на dx: Разделим на x и натогда

Проинтегрировав обе части уравнения по соответствующим переменным, будем иметь

или, возвращаясь к старым переменным, окончательно получим

Пример 2. Решить уравнениеРешение. Пустьтогда

Поделим обе части уравнения на x 2: Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

Переходя к старым переменным, придем к окончательному результату:

Пример 3. Найти решение уравнения при условии

Решение. Выполняя стандартную заменуполучаем

или

Значит, частное решение имеет видПример 4. Найти решение уравнения

Решение.

Пример 5. Найти решение уравнения Решение.

Самостоятельная работа

Найти решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными (1-9).

Найти решение однородных дифференциальных уравнений (9-18).

6.2.3. Некоторые приложения дифференциальных уравнений первого порядка

Задача о радиоактивном распаде

Скорость распада Ra (радия) в каждый момент времени пропорциональна его наличной массе. Найти закон радиоактивного распада Ra, если известно, что в начальный момент имелосьRa и период полураспада Ra равен 1590 лет.

Решение. Пусть в моментмасса Ra составляет x = x(t) г, причем Тогда скорость распада Ra равна

По условию задачи

где k

Разделяя в последнем уравнении переменные и интегрируя, получим

откуда

Для определения C используем начальное условие: при.

Тогдаи, значит,

Коэффициент пропорциональности k определяем из дополнительного условия:

Имеем

Отсюдаи искомая формула

Задача о скорости размножения бактерий

Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. В начальный момент имелось 100 бактерий. В течение 3 ч их число удвоилось. Найти зависимость количества бактерий от времени. Во сколько раз увеличится количество бактерий в течение 9 ч?

Решение. Пусть x - количество бактерий в момент t. Тогда, согласно условию,

где k - коэффициент пропорциональности.

ОтсюдаИз условия известно, что. Значит,

Из дополнительного условия. Тогда

Искомая функция:

Значит, при t = 9 x = 800, т. е. в течение 9 ч количество бактерий увеличилось в 8 раз.

Задача об увеличении количества фермента

В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действующего фермента пропорциональна его начальному количеству x. Первоначальное количество фермента a в течение часа удвоилось. Найти зависимость

x(t).

Решение. По условию дифференциальное уравнение процесса имеет вид

отсюда

Но. Значит, C = a и тогда

Известно также, что

Следовательно,

6.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

6.3.1. Основные понятия

Определение. Дифференциальным уравнением второго порядка называется соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую и вторую производные.

В частных случаях в уравнении могут отсутствовать x, у или у". Однако уравнение второго порядка обязательно должно содержать у". В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде:

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно второй производной:

Как и в случае уравнения первого порядка, для уравнения второго порядка могут существовать общее и частное решения. Общее решение имеет вид:

Нахождение частного решения

при начальных условиях- заданные

числа) называется задачей Коши. Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую у = у (x), проходящую через заданную точкуи имеющую в этой точке касательнуюкоторая об-

разует с положительным направлением оси Ox заданный уголт. е. (рис. 6.1). Задача Коши имеет единственное решение, если правая часть уравнения (6.10),непре-

рывна и имеет непрерывные частные производные по у, у" в некоторой окрестности начальной точки

Для нахождения постоянных входящих в частное решение, надо разрешить систему

Рис. 6.1. Интегральная кривая

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение дифуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что дифуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х) , которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Приведем пример:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему "Как решать дифференциальные уравнения":

Эта статья является отправной точкой в изучении теории дифференциальных уравнений. Здесь собраны основные определения и понятия, которые будут постоянно фигурировать в тексте. Для лучшего усвоения и понимания определения снабжены примерами.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, в которое входит неизвестная функция под знаком производной или дифференциала.

Если неизвестная функция является функцией одной переменной, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным (сокращенно ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение). Если же неизвестная функция есть функция многих переменных, то дифференциальное уравнение называют уравнением в частных производных .

Максимальный порядок производной неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения .

Вот примеры ОДУ первого, второго и пятого порядков соответственно

В качестве примеров уравнений в частных производных второго порядка приведем

Далее мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения n-ого порядка вида или , где Ф(x, y) = 0 неизвестная функция, заданная неявно (когда возможно, будем ее записывать в явном представлении y = f(x) ).

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения .

Решение дифференциального уравнения - это неявно заданная функция Ф(x, y) = 0 (в некоторых случаях функцию y можно выразить через аргумент x явно), которая обращает дифференциальное уравнение в тождество.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ.

Решение дифференциального уравнения всегда ищется на заранее заданном интервале X .

Почему мы об этом говорим отдельно? Да потому что в условиях многих задач об интервале X не упоминают. То есть, обычно условие задач формулируется так: «найдите решение обыкновенного дифференциального уравнения ». В этом случае подразумевается, что решение следует искать для всех x , при которых и искомая функция y , и исходное уравнение имеют смысл.

Решение дифференциального уравнения часто называют интегралом дифференциального уравнения .

Функции или можно назвать решением дифференциального уравнения .

Одним из решений дифференциального уравнения является функция . Действительно, подставив эту функцию в исходное уравнение, получим тождество . Несложно заметить, что другим решением этого ОДУ является, например, . Таким образом, дифференциальные уравнения могут иметь множество решений.

Общее решение дифференциального уравнения – это множество решений, содержащее все без исключения решения этого дифференциального уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения еще называют общим интегралом дифференциального уравнения .

Вернемся к примеру. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид или , где C – произвольная постоянная. Выше мы указали два решения этого ОДУ, которые получаются из общего интеграла дифференциального уравнения при подстановке С = 0 и C = 1 соответственно.

Если решение дифференциального уравнения удовлетворяет изначально заданным дополнительным условиям, то его называют частным решением дифференциального уравнения .

Частным решением дифференциального уравнения , удовлетворяющим условию y(1)=1 , является . Действительно, и .

Основными задачами теории дифференциальных уравнений являются задачи Коши, краевые задачи и задачи нахождения общего решения дифференциального уравнения на каком-либо заданном интервале X .

Задача Коши – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям , где - числа.

Краевая задача – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющего дополнительным условиям в граничных точках x 0 и x 1 :
f (x 0) = f 0 , f (x 1) = f 1 , где f 0 и f 1 - заданные числа.

Краевую задачу часто называют граничной задачей .

Обыкновенное дифференциальное уравнение n-ого порядка называется линейным , если оно имеет вид , а коэффициенты есть непрерывные функции аргумента x на интервале интегрирования.

Возможно, будет полезно почитать: