Определение текущей стоимости денежных поступлений. Текущая стоимость денег

Чистая текущая стоимость - сумма текущих стоимостей всех спрогнозированных, с учетом ставки дисконтирования, денежных потоков.

Метод чистой текущей стоимости (NPV) состоит в следующем.
1. Определяется текущая стоимость затрат (Io), т.е. решается вопрос, сколько инвестиций нужно зарезервировать для проекта.
2. Рассчитывается текущая стоимость будуùих денежных поступлений от проекта, для чего доходы за каждый год CF (кеш-флоу) приводятся к текущей дате.

Результаты расчетов показывают, сколько средств нужно было бы вложить сейчас для получения запланированных доходов, если бы ставка доходов была равна барьерной ставке (для инвестора ставке процента в банке, в ПИФе и т.д., для предприятия цене совокупного капитала или через риски). Подытожив текущую стоимость доходов за все годы, получим общую текущую стоимость доходов от проекта (PV):

3. Текущая стоимость инвестиционных затрат (Io) сравнивается с текущей стоимостью доходов (PV). Разность между ними составляет чистую текущую стоимость доходов (NPV):

NPV показывает чистые доходы или чистые убытки инвестора от помещения денег в проект по сравнению с хранением денег в банке. Если NPV > 0, то можно считать, что инвестиция приумножит богатство предприятия и инвестицию следует осуществлять. При NPV

Чистая текущая стоимость (NPV) это один из основных показателей используемых при инвестиционном анализе, но он имеет несколько недостатков и не может быть единственным средством оценки инвестиции. NPV определяет абсолютную величину отдачи от инвестиции, и, скорее всего, чем больше инвестиция, тем больше чистая текущая стоимость. Отсюда, сравнение нескольких инвестиций разного размера с помощью этого показателя невозможно. Кроме этого, NPV не определяет период, через который инвестиция окупится.

Если капитальные вложения, связанные с предстоящей реализацией проекта, осуществляют в несколько этапов (интервалов), то расчет показателя NPV производят по следующей формуле:

, где

CFt - приток денежных средств в период t;

r - барьерная ставка (ставка дисконтирования);
n - суммарное число периодов (интервалов, шагов) t = 1, 2, ..., n (или время действия инвестиции).

Обычно для CFt значение t располагоется в пределах от 1 до n; в случае когда CFо > 0 относят к затратным инвестициям (пример: средства выделенные на экологическую программу).

Определяется: как сумма текущих стоимостей всех спрогнозированных, с учетом барьерной ставки (ставки дисконтирования), денежных потоков.

Характеризует: эффективность инвестиции в абсолютных значениях, в текущей стоимости.

Синонимы: чистый приведенный эффект, чистый дисконтированный доход, Net Present Value.

Акроним: NPV

Недостатки: не учитывает размер инвестиции, не учитывается уровень реинвестиций.

Критерий приемлемости: NPV >= 0 (чем больше, тем лучше)

Условия сравнения: для корректного сравнения двух инвестиций они должны иметь одинаковый размер инвестиционных затрат.

Пример №1. Расчет чистой текущей стоимости.
Размер инвестиции - 115000$.
Доходы от инвестиций в первом году: 32000$;
во втором году: 41000$;
в третьем году: 43750$;
в четвертом году: 38250$.
Размер барьерной ставки - 9,2%

Пересчитаем денежные потоки в вид текущих стоимостей:
PV 1 = 32000 / (1 + 0,092) = 29304,03$
PV 2 = 41000 / (1 + 0,092) 2 = 34382,59$
PV 3 = 43750 / (1 + 0,092) 3 = 33597,75$
PV 4 = 38250 / (1 + 0,092) 4 = 26899,29$

NPV = (29304,03 + 34382,59 + 33597,75 + 26899,29) - 115000 = 9183,66$

Ответ: чистая текущая стоимость равна 9183,66$.

Формула для расчета показателя NPV (чистой текущей стоимости) с учетом переменной барьерной ставки:

NPV - чистая текущая стоимость;
CFt - приток (или отток) денежных средств в период t;
It - сумма инвестиций (затраты) в t-ом периоде;
ri - барьерная ставка (ставка дисконтирования), доли единицы (при практических расчетах вместо (1+r) t применяют (1+r 0)*(1+r 1)*...*(1+r t), т.к. барьерная ставка может сильно меняться из-за инфляции и других составляющих);

N - суммарное число периодов (интервалов, шагов) t = 1, 2, ..., n (обычно нулевой период подразумевает затраты произведенные для реализации инвестиции и количество периодов не увеличивается).

Пример №2. NPV при переменной барьерной ставке.
Размер инвестиции - $12800.

во втором году: $5185;
в третьем году: $6270.

10,7% во втором году;
9,5% в третьем году.
Определите значение чистой текущей стоимости для инвестиционного проекта.

n =3.
Пересчитаем денежные потоки в вид текущих стоимостей:
PV 1 = 7360 / (1 + 0,114) = $6066,82
PV 2 = 5185 / (1 + 0,114)/(1 + 0,107) = $4204,52
PV 3 = 6270 / (1 + 0,114)/(1 + 0,107)/(1 + 0,095) = $4643,23

NPV = (6066,82 + 4204,52 + 4643,23) - 12800 = $2654,57

Ответ: чистая текущая стоимость равна $2654,57.

Правило, согласно которому, из двух проектов, с одинаковыми затратами, выбирается проект с большим NPV действует не всегда. Проект с меньшим NPV, но с коротким сроком окупаемости может быть выгоднее проекта с большим NPV.

Пример №3. Сравнение двух проектов.
Стоимость инвестиции для обоих проектов равна 100 рублям.
Первый проект генерирует прибыль равную 130 рублям по окончании 1 года, а второй 140 рублей через 5 лет.
Для простоты расчетов считаем барьерные ставки равными нулю.
NPV 1 = 130 - 100 = 30 руб.
NPV 2 = 140 - 100 = 40 руб.

Но при этом годовая доходность, рассчитанная по модели IRR, будет у первого проекта равна 30%, а у второго 6,970%. Ясно, что будет принят первый инвестиционный проект, несмотря на меньший NPV.

Для более точного определения чистой текущей стоимости денежных потоков применяют показатель "модифицированная чистая текущая стоимость (MNPV)".

Пример №4. Анализ чувствительности.
Размер инвестиции - 12800$.
Доходы от инвестиций в первом году: $7360;
во втором году: $5185;
в третьем году: $6270.
Размер барьерной ставки - 11,4% в первом году;
10,7% во втором году;
9,5% в третьем году.
Рассчитайте, как повлияет на значение чистой текущей стоимости увеличение доходов от инвестиции на 30%?

Исходное значение чистой текущей стоимости было рассчитано в примере №2 и равна NPV исх = 2654,57.

Пересчитаем денежные потоки в вид текущих стоимостей с учетом данных анализа чувствительности:
PV 1 ач = (1 + 0,3) * 7360 / (1 + 0,114) = 1,3 * 6066,82 = $7886,866
PV 2 ач = (1 + 0,3) * 5185 / (1 + 0,114)/(1 + 0,107) = 1,3 * 4204,52 = $5465,876
PV 3 ач = (1 + 0,3) * 6270 / (1 + 0,114)/(1 + 0,107)/(1 + 0,095) = 1,3 * 4643,23 = $6036,199

Определим изменение чистой текущей стоимости: (NPV ач - NPV исх) / NPV исх * 100% =
= (6036,199 - 2654,57) / 2654,57 * 100% = 127,39%.
Ответ. Увеличение доходов от инвестиции на 30% привело к увеличению чистой текущей стоимости на 127,39%.

Примечание. Дисконтирование денежных потоков при меняющейся во времени барьерной ставке (норме дисконта) соответствует "Методическим указаниям № ВК 477 ..." п.6.11 (стр. 140).

Чистая текущая стоимость

Copyright © 2003-2011 by Altair Software Company. Потенциальным программ и проекта.

Определения настоящей (текущей) стоимости денег

В финансовых расчетах существует необходимость сравнивать между собой различные суммы денег в разные моменты времени. Именно поэтому достаточно часто возникает необходимость определения настоящей (текущей) стоимости (Present Value - PV) денег, которая выступает основой для сравнения прибыльности различных проектов и инвестиций за определенный период.

Нынешняя стоимость - это денежная стоимость будущих поступлений или доходов с поправкой на ставки дисконта (капитализации).

С формальной точки зрения, ставка дисконтирования - это процентная ставка, используемая для приведения будущих поступлений (денежных потоков и прибыли) к настоящей стоимости. Ставка дисконтирования выражается в процентах или долях единицы. Верхний уровень ставки дисконтирования теоретически может быть больше 100 % (больше 1), а нижний уровень определяется экономическими факторами. С экономической точки зрения ставка дисконтирования - мера затрат на привлечения капитала для инвестирования в конкретный инвестиционный проект.

Иначе говоря, ставка дисконтирования-это ожидаемая инвесторами ставка доходности на вложенный капитал при наличии альтернативных возможностей его вложения в объекты инвестиций с аналогичным уровнем риска. В связи с этим нижним уровнем ставки дисконтирования является так называемая "безрисковая" ставка. По сути, это такая ставка процента, под которую инвесторы могли бы дать деньги в долг, если бы не было опасности вернуть их обратно, или под которую они могли бы взять деньги в долг, если бы их залоговое обеспечение было бы настолько надежным, что кредиторы считали бы шансы на неуплату мизерными.

В странах с развитой рыночной экономикой как "безрисковую" ставку используют процент по ценным бумагам, гарантированным правительством США, или текущую ставку доходности по казначейским векселям и облигациям. В отдельных крупных проектах, которые предусматривают финансирование как за счет отечественного, так и иностранного капитала, уровень "безрисковой" ставки принимают по ставке LIBOR (процентная ставка, по которой на европейском валютном рынке банки предлагают друг другу депозиты). Для условий Украины вопрос установления уровня "безрисковой" ставки не может быть определен однозначно. Одной из основных причин этого является отсутствие сложившегося рынка капитала внутри страны.

Для подсчета текущей стоимости следует определить ставку дисконта, учитывающей рискованность определенного проекта или инвестиций. Существует простое правило:

риск означает высокую ставку дисконта (капитализации), малый риск означает низкую дисконтную ставку.

в Целом для оценки дисконтных ставок используют такие принципы:

из двух будущих поступлений высшее учетную ставку будет иметь то, что поступит позже;

чем ниже определенный уровень риска, тем ниже должна быть ставка дисконта; если общие процентные ставки на рынке растут, растут и дисконтные ставки; риск может уменьшиться, если есть перспектива делового подъема, снижение др..

Расчет настоящей стоимости денег осуществляется с помощью процесса дисконтирования, который является противоположным компаундуванню.

Дисконтирование - это нахождение начальной или текущей суммы долга (PV) по известной конечной сумме (FV)% которую нужно отдать через некоторое время (п). то Есть дисконтирование - это процесс возведения экономических показателей разных лет к сопоставимого во времени виду.

Говорят: сумма FV - дисконтируется, а разность FV - PV называется дисконтом и обозначается D. Дисконт - это процентные деньги (проценты), начисленные и собранные заранее.

в условиях рынка задача дисконтирования возникает очень часто при выработке условий контрактов между двумя предприятиями, различными объектами хозяйствования, при определении текущей рыночной стоимости векселей, акций, облигаций и других ценных бумаг.

Практическое применение дисконтирования для определения приведенной настоящей стоимости денежных потоков требует соответствующего финансово-математической формализации модели дисконтирования - определение абсолютной величины дисконта. В зависимости от потребностей анализа денежных потоков и изменения их стоимости во времени могут использоваться такие модели дисконтирования: простое дисконтирования аннуитетов (отсроченной или авансовой ренты) - подробно будет рассмотрено в параграфе 4.4.

простым дисконтированием (single discounting) понимают финансово-математическая модель расчета приведенной стоимости будущего денежного потока, получение которого, как ожидается, состоится однократно через четко определенный период. Результатом простого дисконтирования является приведенная настоящая стоимость (present value, или PV) отдельного будущего денежного потока.

Процессы компаундирования и дисконтирования тесно взаимосвязаны друг с другом. Определение текущей стоимости (дисконтирования) является прямой противоположностью компаундуванню, то есть эти величины характеризуются обратной зависимостью:

Таким образом, если нам известен показатель будущей стоимости денег (РУ), то с помощью дисконтирования мы можем рассчитать их приведенную стоимость (РУ).

Дисконтирование осуществляется с помощью коэффициента дисконтирования (дисконтуючого множителя, а1).

Определим учетную ставку d, как следующее отношение:

Настоящая стоимость денег может определяться исходя из простой или сложной схемы начисления процентов.

Пользуясь соотношением (4.15) и учитывая зависимость между функциями компаундингу и дисконтирования, приведем формулу для определения текущей стоимости денег в случае использования дисконтной ставки для схемы простых процентов:

где РУ- приведенная текущая стоимость будущего денежного потока; РУ - абсолютная величина будущего денежного потока; п - количество интервалов в плановом периоде; г - ставка дисконтирования (выраженная десятичной дробью); Као - коэффициент дисконтирования при применении простых процентов (выраженный десятичной дробью).

Пример . Какую сумму надо положить на депозитный счет инвестору, чтобы в конце четвертого года получить 25000 игры., если проценты установлены на уровне 16% и начисляются они по простой схеме?

При учете инфляции, как и в случае определения будущей стоимости, результат корректируется путем учета ее прогнозного уровня (Ипр):

где / - прогнозный уровень инфляции;

Дисконтирование с использованием сложных процентов является достаточно распространенным способом определения текущей стоимости денег, которая используется не только в финансовом менеджменте, но и в инвестиционном проектировании и при определении стоимости бизнеса.

Задача определения настоящей стоимости по схеме сложных процентов решают с помощью формулы 4.19:

где---- это коэффициент дисконтирования. Экономический коэффициент дисконтирования

состоит в том, что его величина соответствует текущей стоимости одной денежной единицы, которая будет получена в конце периода п при сложном процента г. Его величина зависит от длительности всего периода и необходимой ставки дисконта.

Пример . Допустим, что кое-кто хотел бы иметь через 4 года 1000 игры., недостающие до суммы уплаты за обучение ребенка в престижном университете. Если средняя ставка по депозитам составляет 15%, какую сумму ему необходимо отнести в банк?

Можно определить настоящую стоимость будущего денежного потока с использованием финансовой таблицы (Приложение Б), которая содержит абсолютное значение ставки дисконтирования, исходя из уровня процентной ставки и количества интервалов в плановом периоде. Таблица определения настоящей стоимости экономит много усилий для подсчета различных ее факторов. Эта таблица, например, показывает, что стоимость уменьшается, когда возрастает промежуток времени, а также когда повышается ставка дисконта.

Приложении Б приведены только те значения факторов, которые, если их перемножить на будущую стоимость, дают значение приведенной стоимости. Соответственно с учетом данных финансовой таблицы с Приложении Б нынешнюю стоимость рассчитывают по формуле 4. 20:

где PVIF- фактор (множитель) текущей стоимости, стандартные значения которого приведены в таблице значений фактора текущей стоимости (Приложение Б).

Пример . Допустим, вы хотите определить нынешнюю стоимость $ 1000 через годы; вы надеетесь на ежегодный уровень риска, связанный с реализацией проектов под 10%.

Как видно из Приложения А, значения факторов растет от времени и роста сложного процента. Поэтому, если эти факторы подставить в знаменатель последнего уравнения, нынешняя стоимость $ 1000 через 3 года будет:

$ 1000/(1+0,10)* = $ 751

Как появилась эта стоимость? Путем простого перемножения (1,10 х 1,10 х 1,10= 1,33) и использование этого фактора для дисконтирования: $ 1000/1,33 = $751

В последнем примере, где стояла задача определить текущую стоимость $1000 через 3 года, достаточно было посмотреть на количество лет и соответствующий процентный фактор нынешней стоимости (PVIF) Present Value interest Factor согласно поданной дисконтной ставке. Как показано в Приложении Б, этот фактор составляет 0,751. Чтобы получить теперешнюю стоимость $1000 через 3 года, имея дисконт 10%, перемножте значения фактора на сумму текущей стоимости($1000*(0751 = $751). Тот же результат вы получили путем длинных подсчетов.

Если начисление процентов планируется более одного раза за год, то расчет проводят по формуле 4. 21:

где т - количество начислений за год, ед.

процента, начисляемую непрерывно настоящая стоимость средств определяется по формуле 4. 22:

Настоящая стоимость является суммой денег, которая, если ее инвестировать в текущем году под данный процент г вырастет через // лет в будущем до необходимого или желаемого уровня. Теперешняя стоимость - это единственный правильный путь для конвертации потоков будущих платежей в сегодняшние деньги.

Очевидно, если вы имеете два разных проекта с одинаковым периодом реализации и расходами, но разными факторами риска, то можно определить их настоящую стоимость и сравнить, какой из них целесообразнее выбрать. Оценка целесообразности капиталовложений в те или иные проекты или инвестиции в основу берет понятие приведенной стоимости. Все сводится к тому, чтобы дисконтировать будущий доход в зависимости от уровня риска и неопределенности будущего. Метод определения текущей стоимости позволяет это сделать.

Пример . Допустим, фирма надеется получить такие суммы денег за следующие четыре года: 1-й год - 1000 тыс. игры.; 2-й год -1200 тыс. грн.; 3-й год -1500 тыс. грн.; 4-й год - 900 тыс. грн.

Нынешняя стоимость всего денежного потока является простой суммой стоимости денежных потоков за каждый год. Если дисконтная ставка равна 10%, текущая стоимость денежных потоков за 4 года равна 3642,43 тыс. грн.:

Настоящая стоимость денежного потока за 4 года составляет 3642,43 тыс. грн.

Таблица настоящей стоимости (Приложение Б) очевидно экономит финансистам много времени. Обратите внимание на то, что за понижение ставки дисконта растет значение приведенной стоимости, когда ставки растут - стоимость падает. Следовательно, должно быть понятно, что понятие настоящей стоимости является важным фактором для выбора решения о вложении денег и инвестиций.

Временная стоимость денег (Time Value of Money, TVM) – это важный показатель в бухгалтерской и финансовой отрасли. Идея заключается в том, что рубль сегодня стоит меньше чем тот же самый рубль завтра. Разница между этими двумя финансовыми значениями является прибыль, которую можно извлечь с одного рубля или убыток. Например, данная прибыль может быть получена с процентов, начисленных на банковском счете или в качестве дивидендов от инвестиций. Но также может быть убыток при оплате процентов за погашение кредитного долга.

Пример с расчетом текущей дисконтированной стоимости инвестиций в Excel

Программа Excel предлагает несколько финансовых функций для вычисления стоимости денег во времени. Например, функция ПС (приведенная стоимость) возвращает текущую стоимость инвестиций. Простыми словами, данная функция снижает сумму на размер процента дисконтирования и возвращает текущую стоимость для этой суммы. Если инвестиционный проект предполагает принести прибыль в размере 10 000 через год. Вопрос: какой максимальной суммой рационально рискнуть чтобы инвестировать в данных проект?

Например, в России розничный бизнес иногда делает прибыль до 35% годовых, а оптовый не более 15%. Учитывая небольшую сумму инвестиций предполагается, что инвестиционный объект не является оптовым бизнесом, а значит следует ожидать прибыль больше чем 15% годовых. Ниже на рисунке провиден пример формулы калькулятора доходности инвестиций в процентах:

Как мы видим на рисунке калькулятор нам отображает, чтобы получить сумму 10 000 за 1 год при доходности 25% нам необходимо вложить 8 000 финансовых средств. То есть если бы у нас была сумма 8 000 и мы вложили ее под 25% годовых через год мы заработали бы 10 000.

Функция ПС имеет 5 аргументов:

Ставка – процентная ставка дисконтирования. Это прибыль в процентах, на которую можно рассчитывать за период дисконтирования. Это значение имеет наибольшее влияние на вычисление текущей стоимости инвестиций, но его наиболее сложно точно определить. Осторожные инвесторы чаще всего занижают процентную ставку до максимально реально достижимого уровня при тех или иных условиях. Если же финансовые средства предназначены для погашения кредита, в таком случае данный аргумент определяется легко.
Количество периодов (Кпер) – период времени на протяжении которого дисконтируется будущая сумма. В данном примере указан 1 год (записанный в ячейке B2). Процентная ставка и количество лет должны быть выражены в соответственных единицах измерения. Это значит, что вы используете годовую ставку, тогда числовое значение в данном аргументе значит количество лет. Если указана процентная ставка в первом аргументе для месяцев (например, 2,5% ежемесячных), тогда число во втором аргументе значит количество месяцев.
Платеж (Плт) – сумма, которая периодически платится на протяжении периода дисконтирования. Если предусмотрен в условиях инвестирования только один платеж, как в выше приведенном примере, тогда данная сумма является будущей стоимостью денег, а сам платеж равен =0. Данный аргумент должен быть согласован со вторым аргументом количества периодов. Если количество периодов дисконтирования равно 10, а третий аргумент не равен <>0, тогда функция ПС посчитает как 10 платежей на сумму, указанную в третьем аргументе (Плт). Ниже на следующем примере изображено как вычисляется текущая стоимость денег при нескольких взносах отдельными платежами.
Будущая стоимость (БС) – это сумма, которую следует получить в конце периода дисконтирования. Финансовые функции Excel основаны на вычислениях наличного потока. Это значит, что будущая стоимость и текущая стоимость инвестиций имеют противоположные знаки чисел. В данном примере будущая стоимость является отрицательным числом, поэтому формула в результате вычислений возвращает положительное число.
Тип – данный аргумент должен иметь значение 0, если выплата итоговой суммы припадает на конец периода дисконтирования, или число 1 – если на его начало. В данном примере значение данного аргумента не имеет значения и никак не повлияет на итоговый результат вычисления. Так как платежный взнос равен нулю и аргумент определяющий тип может быть опущен. В таком случае функция по умолчанию присваивает данному аргументу значение 0.

Формула расчета текущей стоимости денег с учетом инфляции в Excel

В другом примере применения функции ПС выполняется вычисление будущей стоимости денег сразу для целой серии будущих равных платежных взносов. Если, например, по договору аренды офиса арендатор должен платить по 5000 каждый месяц на протяжении одного года, тогда арендодатель с помощью функции ПС сможет посчитать сколько он потеряет дохода при учете 6,5% годовой инфляции:

В данном примере пятый аргумент «Тип» имеет числовое значение 1, так как оплата за аренду платится в начале каждого месяца.

В случае наличия суммы регулярных платежей функция ПС в реальности вычисляет текущую стоимость денег отдельно для каждого платежа и суммирует полученные результаты. На рисунке видны результаты вычисления стоимости для каждого платежа. Текущая стоимость первого платежа такая же, как и сумма платежа, так как платится сейчас по факту. Платеж в следующем месяце будет проплачен через месяц и уже уменьшается его текущая денежная стоимость (обесценивается). Он дисконтирован до суммы 4 973. Изменения не значительные, но последний платеж, который буде проплачен через 11 месяцев имеет стоимость уже существенно ниже – 4 712. Все результаты вычисления значений текущей стоимости инвестиций необходимо суммировать. Функция ПС выполняет всю эту работу автоматически без необходимости составления хронологического графика платежей за весь период.

Приведение будущей стоимости денег к текущему моменту времени, т.е. определение их текущей стоимости, называется ДИСКОНТИРОВАНИЕМ .

Соотношение текущей и будущей стоимости легко увидеть на схеме (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Соотношение текущей и будущей стоимости денег

Оставим пока в стороне влияние инфляции на эффективность инвестиций. К этому мы вернемся чуть позже. Рассмотрим изменение временной стоимости денег лишь вследствие их собственного свойства: способности оборачиваться и приносить доход.

Решим для иллюстрации изменения временнóй стоимости денег простую задачу компаундинга:

Инвестор вложил капитал в сумме 20 тыс. руб. в банковский депозит под 10 % годового дохода. Какой капитал будет иметь инвестор на депозитном счете через три года при условии рефинансирования процентов (т.е. проценты, начисленные по вкладу, не будут сниматься с депозитного счета)?

Посмотрим, как будет изменяться (прирастать) капитал инвестора по годам.

Через год на депозитном счете инвестора будет капитал равный

тыс. руб.

или это можно записать иначе:

Тыс. руб.

Через два года:

Тыс. руб.

Через три года

Тыс. руб.

Итак, мы не только определили, каким капиталом будет владеть инвестор через три года, но и вывели формулу сложных процентов , по которой выполняются расчеты в том случае, если проценты, получаемые на вложенный капитал, реинвестируются, т.е. присоединяются к основному капиталу (теперь нам понятен смысл слова компаунд – составной, сложный). Формула сложных процентов является очень важным инструментом финансово-экономического и инвестиционного анализа. В частности, с её помощью мы установим соотношение между текущей стоимостью и будущей стоимостью денежных потоков:

или , (5.10)

где – норма доходности (норма дисконта), десятичное выражение.

– количество периодов времени, в течение которого происходит накопление дохода, год (квартал, месяц).

Экономический смысл этой формулы легко просматривается: если сегодня мы инвестируем некоторый капитал, имеющий текущую стоимость ТС , то при годовой доходности инвестиций равной Е, мы будем иметь через t лет капитал, стоимость которого будет равна БС. Как в нашем примере, инвестировав под 10 % годовых 20 тыс. руб., мы через три года будем иметь капитал 26,62 тыс. руб.:

Из формулы (5.9) видно, что

Или . (5.11)

Это означает, что если в будущем в некотором году t мы предполагаем иметь определенный капитал, то его будущая стоимость БС могла бы быть получена путем инвестирования сегодня капитала стоимостью ТС на период времени t при годовой доходности, равной Е.

Здесь – коэффициент дисконтирования, а – коэффициент компаундинга (коэффициент наращения) .

Соответственно, формула (5.9) является основой задач компаундинга, а формула (5.10) является основой задач дисконтирования. В инвестиционном анализе большее применение имеет задача дисконтирования, в которой инвестор, зная сумму инвестируемого сегодня капитала (текущую стоимость денег), может оценить стоимость предполагаемых завтра доходов (будущую стоимость денег), сопоставив их в одной временнóй размерности – в текущем времени.

Значение коэффициента дисконтирования всегда меньше единицы, и чем дальше год t от начального момента времени, тем его значение меньше, а значит, тем меньше текущая стоимость будущих доходов. На простом примере это можно интерпретировать так: миллион рублей, который мы будем иметь через год, будет стоить значительно меньше, чем миллион рублей, который мы имеем сегодня: ведь для того, чтобы получить миллион рублей через год, нам достаточно инвестировать сегодня 909091 руб. при доходности 10 %:

руб.

Норма доходности (норма дисконта) Е показывает скорость изменения стоимости денежных потоков. В задачах компаундинга Е показывает скорость возрастания стоимости (норма доходности), а в задачах дисконтирования Е показывает скорость уменьшения стоимости (норма дисконта) .

Напомним, что мы пока не учитываем влияние инфляции на стоимость денег. Изменение их временнóй стоимости обусловлено лишь способностью денег оборачиваться и приносить доход.

Рассмотрим для начала простой пример (рис. 5.4) :

Инвестиционным проектом предусматривается осуществление строительства крупного объекта стоимостью 100 млн. руб. в течение трех лет. Рассматривается два варианта выполнения работ, предусматривающих разную схему финансирования проекта по годам:

1 вариант: 1 год –15 млн. руб.;

2 год –25 млн. руб.; 3 год – 60 млн. руб.

2 вариант: 1 год – 20 млн. руб.;

2 год – 40 млн. руб.; 3 год – 40 млн. руб.

Какой вариант финансирования проекта предпочтительнее для инвестора при прочих равных условиях?

Очевидно, что смысл нашей задачи заключается в том, что при одинаковой стоимости строительства объекта реальная сумма инвестиций с учетом временнóй стоимости денег будет разная. Давайте в этом убедимся, приведя все инвестиции к одной временнóй размерности, т.е. к одному моменту времени – начальному, то есть началу первого года. Для этого примем норму дисконта Е =0,1 и определим суммарную приведенную (дисконтированную) стоимость инвестиций по каждому варианту.

Рис. 5.4. Распределение инвестиций по вариантам строительства объекта (иллюстрация к рассматриваемому примеру)

Мы видим, что дисконтированная стоимость инвестиций по первому варианту меньше на 2,667 млн. руб., чем дисконтированная стоимость инвестиций по второму варианту. То есть, при одинаковых по обоим вариантам номинальных затратах инвестора – 100 млн. руб. – с учетом временной стоимости денег реальные затраты в первом случае будут меньше. Попробуем объяснить это. Мы знаем, что, инвестируя капитал, инвестор изымает его из текущего оборота, где этот капитал может приносить доход. А капитал, вложенный в строительство, как бы «замораживается» – отдача от него начнет поступать только после окончания строительства и ввода объекта в эксплуатацию. В нашем примере на первом году строительства объекта в первом варианте было «заморожено» меньше средств, чем во втором варианте, на 5 млн. руб., следовательно, они продолжали «работать» и приносить инвестору доход (например, 10 % в год). Аналогично на втором году строительства – по первому варианту было отвлечено из текущего оборота меньше, чем по второму варианту на 25 млн. руб. и т.д.

В общем случае при одинаковой сумме инвестиций (в нашем примере 100 млн. руб.) первый вариант финансирования проекта будет предпочтительнее второго варианта финансирования проекта (рис. 5.5).

Таким образом, учет временнóй стоимости денег позволяет сопоставлять разновременные затраты, выбирать варианты инвестирования с наиболее эффективной схемой финансирования и меньшими приведенными инвестициями.

Рис. 5.5. Сравнение вариантов финансирования проекта

Вам еще не раз придется встретиться с этими коэффициентами, поскольку они имеют широкое применение не только в инвестиционном анализе, но и в банковских расчетах, финансовом анализе, в оценке недвижимости и т.д. В разных литературных источниках норма доходности (дисконта) обозначается разными символами – R, r (rate -ставка), I , i (interest – интерес, процент). Здесь и далее мы будем использовать обозначения, принятые в «Методических рекомендациях по оценке эффективности инвестиционных проектов».

Не случайно в англоязычной литературе норма дисконта (доходности) обозначается словом rate, которое в переводе на русский язык имеет два значения: 1) норма, ставка; 2) темп, скорость – см. Мюллер В.К. Англо-русский словарь: 53 000 слов. – 18-е изд., стереотип. – М.: Рус. язык., 1981. – 888 с.

Рассчитаем Приведенную (к текущему моменту) стоимость инвестиции при различных способах начисления процента: по формуле простых процентов, сложных процентов, аннуитете и в случае платежей произвольной величины.

Текущая стоимость (Present Value) рассчитывается на базе концепции стоимости денег во времени: деньги, доступные в настоящее время, стоят больше, чем та же самая сумма в будущем, вследствие их потенциала обеспечить доход. Расчет Текущей стоимости, также как и важен, так как, платежи, осуществленные в различные моменты времени, можно сравнивать лишь после приведения их к одному временному моменту.
Текущая стоимость получается как результат приведения Будущих доходов и расходов к начальному периоду времени и зависит от того, каким методом начисляются проценты: , или (в файле примера приведено решение задачи для каждого из методов).

Простые проценты

Сущность метода начисления по простым процентам состоит в том, что проценты начисляются в течение всего срока инвестиции на одну и ту же сумму (проценты начисленные за предыдущие периоды, не капитализируются, т.е. на них проценты в последующих периодах не начисляются).

В MS EXCEL для обозначения Приведенной стоимости используется аббревиатура ПС (ПС фигурирует как аргумент в многочисленных финансовых функциях MS EXCEL).

Примечание . В MS EXCEL нет отдельной функции для расчета Приведенной стоимости по методу Простых процентов. Функция ПС() используется для расчета в случае сложных процентов и аннуитета. Хотя, указав в качестве аргумента Кпер значение 1, а в качестве ставки указать i*n, то можно заставить ПС() рассчитать Приведенную стоимость и по методу простых процентов (см. файл примера ).

Для определения Приведенной стоимости при начислении простых процентов воспользуемся формулой для расчета (FV):
FV = PV * (1+i*n)
где PV - Приведенная стоимость (сумма, которая инвестируется в настоящий момент и на которую начисляется процент);
i - процентная ставка за период начисления процентов (например, если проценты начисляются раз в год, то годовая; если проценты начисляются ежемесячно, то за месяц);
n – количество периодов времени, в течение которых начисляются проценты.

Из этой формулы получим, что:

PV = FV / (1+i*n)

Таким образом, процедура расчета Приведенной стоимости противоположна вычислению Будущей стоимости. Иными словами, с ее помощью мы можем выяснить, какую сумму нам необходимо вложить сегодня для того, чтобы получить определенную сумму в будущем.
Например, мы хотим знать, на какую сумму нам сегодня нужно открыть вклад, чтобы накопить через 3 года сумму 100 000р. Пусть в банке действует ставка по вкладам 15% годовых, а процент начисляется только основную сумму вклада (простые проценты).
Для того чтобы найти ответ на этот вопрос, нам необходимо рассчитать Приведенную стоимость этой будущей суммы по формуле PV = FV / (1+i*n) = 100000 / (1+0,15*3) = 68 965,52р. Мы получили, что сегодняшняя (текущая, настоящая) сумма 68 965,52р. эквивалентна сумме через 3 года в размере 100 000,00р. (при действующей ставке 15% и начислении по методу простых процентов).

Конечно, метод Приведенной стоимости не учитывает инфляции, рисков банкротства банка и пр. Этот метод эффективно работает для сравнения сумм «при прочих равных условиях». Например, что с помощью него можно ответить на вопрос «Какое предложение банка выгоднее принять, чтобы получить через 3 года максимальную сумму: открыть вклад с простыми процентами по ставке 15% или со сложными процентами с ежемесячной капитализацией по ставке 12% годовых»? Чтобы ответить на этот вопрос рассмотрим расчет Приведенной стоимости при начислении сложных процентов.

Сложные проценты

При использовании сложных ставок процентов процентные деньги, начисленные после каждого периода начисления, присоединяются к сумме долга. Таким образом, база для начисления сложных процентов в отличие от использования изменяется в каждом периоде начисления. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, называется капитализацией процентов. Иногда этот метод называют «процент на процент».

Приведенную стоимость PV (или ПС) в этом случае можно рассчитать, используя .

FV = РV*(1+i)^n
где FV (или S) – будущая (или наращенная сумма),
i - годовая ставка,
n - срок ссуды в годах,

т.е. PV = FV / (1+i)^n

При капитализации m раз в год формула Приведенной стоимости выглядит так:
PV = FV / (1+i/m)^(n*m)
i/m – это ставка за период.

Например, сумма 100 000р. на расчетном счету через 3 года эквивалентна сегодняшней сумме 69 892,49р. при действующей процентной ставке 12% (начисление % ежемесячное; пополнения нет). Результат получен по формуле =100000 / (1+12%/12)^(3*12) или по формуле =ПС(12%/12;3*12;0;-100000).

Отвечая на вопрос из предыдущего раздела «Какое предложение банка выгоднее принять, чтобы получить через 3 года максимальную сумму: открыть вклад с простыми процентами по ставке 15% или со сложными процентами с ежемесячной капитализацией по ставке 12% годовых»? нам нужно сравнить две Приведенные стоимости: 69 892,49р. (сложные проценты) и 68 965,52р. (простые проценты). Т.к. Приведенная стоимость, рассчитанная по предложению банка для вклада с простыми процентами, меньше, то это предложение выгоднее (сегодня нужно вложить денег меньше, чтобы через 3 года получить ту же сумму 100 000,00р.)

Сложные проценты (несколько сумм)

Определим приведенную стоимость нескольких сумм, которые принадлежат разным периодам. Это можно сделать с помощью функции ПС() или альтернативной формулы PV = FV / (1+i)^n

Установив значение ставки дисконтирования равной 0%, получим просто сумму денежных потоков (см. файл примера ).

Аннуитет

Если, помимо начальной инвестиции, через равные периоды времени производятся дополнительные равновеликие платежи (дополнительные инвестиции), то расчет Приведенной стоимости существенно усложняется (см. статью , где приведен расчет с помощью функции ПС() , а также вывод альтернативной формулы).

Здесь разберем другую задачу (см. файл примера ):

Клиент открыл вклад на срок 1 год под ставку 12% годовых с ежемесячным начислением процентов в конце месяца. Клиент также в конце каждого месяца вносит дополнительные взносы в размере 20000р. Стоимость вклада в конце срока достигла 1000000р. Какова первоначальная сумма вклада?

Решение может быть найдено с помощью функции ПС() : =ПС(12%/12;12;20000;-1000000;0) = 662 347,68р.

Аргумент Ставка указан за период начисления процентов (и, соответственно, дополнительных взносов), т.е. за месяц.
Аргумент Кпер – это количество периодов, т.е. 12 (месяцев), т.к. клиент открыл вклад на 1 год.
Аргумент Плт - это 20000р., т.е. величина дополнительных взносов.
Аргумент Бс - это -1000000р., т.е. будущая стоимость вклада.
Знак минус указывает на направление денежных потоков: дополнительные взносы и первоначальная сумма вклада одного знака, т.к. клиент перечисляет эти средства банку, а будущую сумму вклада клиент получит от банка. Это очень важное замечание касается всех , т.к. в противном случае можно получить некорректный результат.
Результат функции ПС() – это первоначальная сумма вклада, она не включает Приведенную стоимость всех дополнительных взносов по 20000р. В этом можно убедиться подсчитав Приведенную стоимость дополнительных взносов. Всего дополнительных взносов было 12, общая сумма 20000р.*12=240000р. Понятно, что при действующей ставке 12% их Приведенная стоимость будет меньше =ПС(12%/12;12;20000) = -225 101,55р. (с точностью до знака). Т.к. эти 12 платежей, сделанные в разные периоды времени, эквивалентны 225 101,55р. на момент открытия вклада, то их можно прибавить к рассчитанной нами первоначальной сумме вклада 662 347,68р. и подсчитать их общую Будущую стоимость = БС(12%/12;12;; 225 101,55+662 347,68) = -1000000,0р., что и требовалось доказать.

Возможно, будет полезно почитать: